Índice de ejercicios de la Práctica 1 o similares

Considerar la sucesión definida de la siguiente manera(\(b>0\)):

a) Probar que existe \(n_0\in\mathbb{N}\;\;\;\) tal que \(a_n\) es decreciente para todo \(n\geq{n_0}\).
b) Probar que \(a_n\) está acotada inferiormente.
c) Probar que \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\sqrt{b}\).

práctica 1 ejercicio 18

Probar los siguientes límites:
a) \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty\;\; con\;\; a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n}}\)
b) \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=1\;\; con\;\; a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\)

Práctica 1 ejercicio 13

Calcular \(sup\left\{\frac{\sqrt{n+1}}{10+n}:n\in\mathbb{N}\right\}\)

práctica 1 ejercicio 10.b)

Mostrar que los siguientes subconjuntos de \(\mathbb{R}^{2}\) son abiertos:

a) \(A= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 1<{x}^{2}+{y}^{2}<{7}\}\)
b) \(A= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 2x + y > 1\}\)
c) \(C=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}: x\neq0 \vee y\neq0\}\)
a), b) Practica 1 - Ej 24 a) 1) y 2) - (1er C, 2009)
c) [A resolver] Práctica 1, ejercicio 21
Decidir si el siguiente conjunto es cerrado y acotado:

practica 1 ejercicio 23 a)

Sean \(0\leq{x}\leq{y}\). Probar que \(x\leq\sqrt[]{xy}\leq\frac{x+y}2\leq{y}\)

práctica 1 ejercicio 6

Sea \(A\,\subset\,\mathbb{R}^n\) . Mostrar la equivalencia de los siguientes dos enunciados:

1. A es abierto
2. Cualquiera sea \(y\, \varepsilon\,A\), existe r > 0 tal que

[No Resuelto] P:1 - Ej. 23 Parte C

Calcular \(\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1^p + 2^p +3^p + ... + n^p}{n^{p+1}}} \; \forall p \in N\)

[resolucion]limite raro]

Dada la sucesion \({a}_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}\):
c)Usando que \(n!>2^{n-1}\) para todo \(n\geq 3\), compruebe que 3 es una cota superior de esta sucesion.

Concluya que existe el limite al que llamaremos \(e\) y que cumple\(2< e\leq 3\)

[resolucion][No Resuelto]- Preliminares- Ejercicio 11 (2009)]