Perdón, pero también necesito ayuda con este ejercicio:
Probar los siguientes límites:
a) \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=+\infty\;\; con\;\; a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n}}\)
b) \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=1\;\; con\;\; a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\)
Tema
Práctica 1 ejercicio 13
para el item "a" pordria ser asi:
\(\frac{1}{\sqrt{2n}}+\frac{1}{\sqrt{2n}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n}}\)
ahora lo de la izquierda puede escribirse así:
$${b}_{n} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}} = n\frac{1}{\sqrt{2n}} = \frac{1}{\sqrt{2n}}+\frac{1}{\sqrt{2n}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n}}$$
ahora:
$${b}_{n} \leq {a}_{n}$$
tomamos limite en ambos lados
$$\lim_{n\rightarrow\infty}{b}_{n} \leq \lim_{n\rightarrow\infty}{a}_{n}$$
y como \(\lim_{n\rightarrow\infty}{b}_{n} = \infty \Longrightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}{a}_{n} = \infty\)
el item b te lo debo.
Editado 1 vez.
El razonamiento para la parte \(b\) es análogo a la parte a) que puso Julián(nota; deberías haber usado \(\frac{1}{\sqrt{2n}}\), porque la suma que pusiste no es una cota inferior, sino superior; se toma el menor de los elementos, y ese era el mayor):
b)Notá que la sucesión \({a}_{j}\eq=\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+j}}\) es monótona decreciente; luego el mayor de sus elementos es el primero, o sea, \(\frac{1}{n}\). Luego, tenés la bonita cota superior \({a}_{j}\leq \frac{1}{n}\implies {a}_{n}\leq n\cdot \frac{n+1}{n}\)( o sea, es menor que sumar ''n+1'' veces la cota superior).
Pero necesitamos una cota inferior; en efecto, tomamos el menor de tales elementos de \({a}_{j}\), y este es \(\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+n}}\). De manera análoga a la anterior, se tiene:
\(\frac{n+1}{\sqrt{{n}^{2}+n}}\leq {a}_{n}\leq \frac{n+1}{n}\).
Por medio de la propiedad del Sandwich, y calculando el límite al infinito de la primera y segunda cota, te queda \(1\leq \lim_{n\rightarrow \infty}{a}_{n}\leq 1\), asegurando el Sandwich el resultado deseado, que es \({a}_{n}\rightarrow 1\)
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Editado 1 vez.
Listo, editado, gracias. Error de tipeo 🙄
hola, exequiel porque pones n y no n+1, la cota superior no seria \(\frac{n+1}{n}\) y la inferior \(\frac{n+1}{\sqrt{n^2+n}}\)???
Saludos!
Carla escribió:
hola, exequiel porque pones n y no n+1, la cota superior no seria \(\frac{n+1}{n}\) y la inferior \(\frac{n+1}{\sqrt{n^2+n}}\)???
Saludos!
Si, de hecho, porque \(a_{n}\) consta de \(n+1\) términos.
Firma
$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$
Por una razón verdaderamente trivial... porque no se contar. Ya está reeditado. Gracias por verificar lo que escribo