práctica 1 ejercicio 10.b)

Alguien me puede ayudar con este ejercicio?
calcular \(sup\left\{\frac{\sqrt{n+1}}{10+n}:n\in\mathbb{N}\right\}\)

Observá lo siguiente:
\(\frac{\sqrt{n+1}}{10+n}\) es una sucesión monótona decreciente, a partir de algún valor; en efecto, pasando a variable real, tenés la función \(f(x)\eq=\frac{\sqrt{x+1}}{10+x},\;x\geq1\). Simplemente derivás, y te queda \(\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}(10+x)-\sqrt{x+1}}{{(10+x)}^{2}}\). Ahora, te importa estudiar el signo del numerador(el denominador es siempre positivo). Luego, tenés que estudiar \(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}(10+x)-\sqrt{x+1}<0\iff \frac{1}{2\sqrt{x+1}}(10+x)<\sqrt{x+1}\iff 10+x<2x+2\iff 8<x\).
O sea, que si \(x\geq 9\), la sucesión es monótona decreciente. Luego, en particular, el supremo es máximo y es alguno de los primeros \(8\) términos de la sucesión; aún más, siguiendo el camino de las desigualdades, si hubiésemos supuesto \(>0\) la primera desigualdad, hubiéramos \(x<8\). ¿Qué pasa en\(x\eq=8\)?. Si decrece de \((8,+\infty)\) y crece hasta el 8, tenemos que es el máximo que buscás, y en particular, lo alcanza en un valor natural, \(n\eq=8\). Luego, \(\sup(A)\eq=\max(A)\eq=\frac{\sqrt{9}}{18}\eq=\frac{3}{18}\eq=\frac{1}{6}\). El hecho de ser el elemento máximo, hace que la definición de supremo se satisfaga siempre.
Espero haberte aclarado. Saludos.

Gracias me aclaraste las dudas muy bien