práctica 1 ejercicio 6

A ver si me ayudan con este ejercicio: Sean \(0\leq{x}\leq{y}\). Probar que \(x\leq\sqrt[]{xy}\leq\frac{x+y}2\leq{y}\)

Bueno, vamos a probar cada desigualdad por separado.

\(x\leq \sqrt{xy}\). Como \(x,y\geq0,xy\geq0\), y podemos elevar al cuadrado sin perder información. Luego, \(0\leq x\leq \sqrt{xy}\iff 0\leq {x}^{2}\leq xy\). Si \(x\eq=0\), la desigualdad es trivial, pues queda \(0\leq0\leq0\), o sea, todo igual a \(0\). Caso contrario, como \(x>0\), multiplico miembro a miembro por \(\frac{1}{x}\), teniendo \(0\leq x\leq y\), y por hipótesis, esta proposición es verdadera(es la hipótesis que tengo).
\(\frac{x+y}{2}\leq y\iff x+y\leq 2y\iff x\leq y\), y esta desigualdad vale por hipótesis(tengo \(0\leq x\leq y\implies x\leq y\))
Falta la desigualdad central; tenemos \(0\leq \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\); como todo es positivo, elevo al cuadrado, teniendo:
\(xy\leq {(\frac{x+y}{2})}^{2}\eq=\frac{{x}^{2}+2xy+{y}^{2}}{4}\iff 4xy\leq {x}^{2}+2xy+{y}^{2}\iff 0\leq {x}^{2}-2xy+{y}^{2}\eq={(x-y)}^{2}\), lo cual es cierto, pues todo cuadrado de un real es positivo o cero, o sea, siempre para \(y\in\mathbb{R},\;{y}^{2}\geq0\). Como cada desigualdad vale por separado, y se probó por medio de \(\iff\), podemos juntar todo, y tenemos
\(0\leq x\leq \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\leq y\).
Recalco los \(\iff\); si hubiesen sido \(\implies\), no hubiera conseguido probar lo que quería, pues usé lo que quería probar para obtener una condición necesaria.
Espero haberte aclarado. Saludos.

Gracias me ayudó mucho, no me había dado cuenta de muchas cosas

Hay una interpretación geométrica de esta desigualdad; puesto que \(x,y>0\), puedo hacer el cambio de variables \(x\eq={a}^{2},\;y\eq={b}^{2}\). Reemplazando en la desigualdad, tenemos \(a\cdot b\leq \frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}\). Notando que \(a,b>0\implies a\cdot b>0\), podemos pensar el rectángulo de lados \(a,b\) y tendrá área \(a\cdot b\). Por otro lado, \(\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}\eq=\frac{a\cdot a}{2}+\frac{b\cdot b}{2}\). O sea, usando el mismo rectángulo, podemos pensar a este valor como la suma de las áreas de los tríangulos de lados \(a\) y \(b\), que se construyen con el rectángulo anterior. Visualizando gráficamente, se puede ver que queda desfazado uno de los triángulos, teniendo más área la suma buscada. A veces, un gráfico ayuda a pensar la idea para resolver un ejercicio(sin embargo, un gráfico no es una demostración analítica... sirve solo como idea).

exequiel131719 escribió:

sin embargo, un gráfico no es una demostración analítica... sirve solo como idea.

Ay, ay, ay... ¿cómo se infectan desde tan chiquitos?

exequiel131719 escribió:

Bueno, vamos a probar cada desigualdad por separado.

\(x\leq \sqrt{xy}\). Como \(x,y\geq0,xy\geq0\), y podemos elevar al cuadrado sin perder información. Luego, \(0\leq x\leq \sqrt{xy}\iff 0\leq {x}^{2}\leq xy\). Si \(x\eq=0\), la desigualdad es trivial, pues queda \(0\leq0\leq0\), o sea, todo igual a \(0\). Caso contrario, como \(x>0\), multiplico miembro a miembro por \(\frac{1}{x}\), teniendo \(0\leq x\leq y\), y por hipótesis, esta proposición es verdadera(es la hipótesis que tengo).
\(\frac{x+y}{2}\leq y\iff x+y\leq 2y\iff x\leq y\), y esta desigualdad vale por hipótesis(tengo \(0\leq x\leq y\implies x\leq y\))
Falta la desigualdad central; tenemos \(0\leq \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\); como todo es positivo, elevo al cuadrado, teniendo:
\(xy\leq {(\frac{x+y}{2})}^{2}\eq=\frac{{x}^{2}+2xy+{y}^{2}}{4}\iff 4xy\leq {x}^{2}+2xy+{y}^{2}\iff 0\leq {x}^{2}-2xy+{y}^{2}\eq={(x-y)}^{2}\), lo cual es cierto, pues todo cuadrado de un real es positivo o cero, o sea, siempre para \(y\in\mathbb{R},\;{y}^{2}\geq0\). Como cada desigualdad vale por separado, y se probó por medio de \(\iff\), podemos juntar todo, y tenemos
\(0\leq x\leq \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\leq y\).
Recalco los \(\iff\); si hubiesen sido \(\implies\), no hubiera conseguido probar lo que quería, pues usé lo que quería probar para obtener una condición necesaria.
Espero haberte aclarado. Saludos.

Buenisimo, muchas gracias!!!
Me habia trabado en \(0\leq \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\) , pero bueno, era una "pavada"!! jejejj 😆

gracias exequiel por la explicacion, yo tampoco lo podia sacar XD..