práctica 1 ejercicio 18

Y este?
(aproximación de la raíz cuadrada de \(b>0\)) Considerar la sucesión definida de la siguiente manera:

a) Probar que existe \(n_0\in\mathbb{N}\;\;\;\) tal que \(a_n\) es decreciente para todo \(n\geq{n_0}\).
b) Probar que \(a_n\) está acotada inferiormente.
c) Probar que \(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\sqrt{b}\).

Observá el siguiente planteo:
Recordá que para \(x,y>0\) vale \(\sqrt{x\cdot y}\leq \frac{x+y}{2}\eq=\frac{1}{2}(x+y)\). Mirando la definición \({a}_{n+1}\eq=\frac{1}{2}({a}_{n}+\frac{b}{{a}_{n}})\), dado que \(a>0,b>0\), vale la desigualdad anterior, \({a}_{n+1}\eq=\frac{1}{2}({a}_{n}+\frac{b}{{a}_{n}})\geq \sqrt{{a}_{n}\cdot \frac{b}{{a}_{n}}}\eq=\sqrt{b}\). O sea, que para todo natural, probamos \({a}_{n+1}\geq \sqrt{b}\). Finalmente notemos que esto, sin embargo, no cubre el caso \({a}_{1}\). Luego, si \(0<{a}_{1}\leq b\), resulta que \(\sqrt{a}\leq \sqrt{b}\leq {a}_{n+1},\forall n\in\mathbb{N}\). Si \({a}_{1}\eq=a>b>0\iff \sqrt{a}>\sqrt{b}\). En ambos casos, hayamos una cota inferior de \({a}_{n}\), con lo que tenemos acotada inferiormente a \({a}_{n}\). Esta parte cubre b). Veamos la parte a)
Queremos ver que existe \(k\) que verifica \(\forall n\geq k,\;{a}_{n}\geq {a}_{n+1}\eq=\frac{1}{2}({a}_{n}+\frac{b}{{a}_{n}})\). Despejando(verificalo) te queda \({a}_{n}\geq {a}_{n+1}\iff {a}_{n}\geq \sqrt{b}\). Si \(0<{a}_{1}\eq=a\leq b\), por lo que vimos antes, esta desigualdad vale a partir de \(n\eq=2\). Si en cambio \(a>b\), resulta que vale desde \(n\eq=1\). De aquí obtenemos que a partir de algún natural la sucesión definida de manera recursiva es decreciente.
Como \({a}_{n}\) resulta monótona decreciente a partir de algún natural y está acotada inferiormente, resulta que converge, o sea, su límite existe y es único. Luego, \(\lim_{n\rightarrow \infty}{a}_{n}\eq=L>0\)(es mayor que \(0\) pues \(b>0\), y vimos que una cota inferior era \(\sqrt{b}>0\)). Luego:
\(\lim_{n\rightarrow \infty} {a}_{n}\eq=L\eq=\lim_{n\rightarrow \infy} \frac{1}{2}({a}_{n}+\frac{b}{{a}_{n}})\). Como el límite de la sucesión existe, puede aplicarse álgebra de límites(suma de límites, multiplicación, etc...) y queda \(L\eq=\frac{1}{2}(L+\frac{b}{L})\iff L\eq=\sqrt{b}\)(solo despejé y usé al final que \(L>0\), cuando tomé raíces cuadradas). Aquí se halla cubierta la parte c)
ACLARACIÓN: vale que el límite es mayor que 0, porque a partir de algún \({n}_{0}\) la sucesión es decreciente. Luego, pensando en la sucesión \({b}_{n}\eq={a}_{{n}_{0}+n-1}\), tenemos una sucesión monótona decreciente para todo natural y acotada inferiormente; luego, converge y lo hace a su ínfimo. Como el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores, resultaba, siendo \(l\) tal real, por ser \(\sqrt{b}\) cota inferior de \({b}_{n}\), que \(l\geq \sqrt{b}>0\). De aquí que tal límite pensado sea \(0\); que la sucesión \({a}_{n}\) se comporta como \({b}_{n}\) a partir de \({n}_{0}\)(de hecho, solo es empezar desde el término \({n}_{0}\)-simo)
Espero haberte aclarado. Saludos.

Este es uno de esos ejercicios q a mi opinion hay q borrarlo definitivamente de la guia (junto con la mitad de Lagrange). Lo unico que hace es desmoralizar a la gente que recien entra a la carrera.. yo cunado le pregunte a la profesora, no supo decirme como se hace en ese orden q te dan a) b) c), es mas, exequiel empezo por el b (pero me juego a q fue mas para q el ejercicio salga mas entendible q por otra cosa)..
Esta materia lamentablemente tiene en sus guias de ejercicios problemas q no valen la pena, son una perdida de tiempo (sigo recordando alguno q otro de Lagrange) y otros q SI valen la pena, pero son dificiles de distinguir cual vale la pena y cual no....
En fin, todo esto es para decirte que no te asustes si algun ejercicio no te sale por mas vueltas q le des, es perfectamente normal y mas con estas practicas de Analisis.. La posta es tener lo teorico bien firme y lo demas sale por osmosis.. !
Saludos

Nico? escribió:

Este es uno de esos ejercicios q a mi opinion hay q borrarlo definitivamente de la guia (junto con la mitad de Lagrange). Lo unico que hace es desmoralizar a la gente que recien entra a la carrera.. yo cunado le pregunte a la profesora, no supo decirme como se hace en ese orden q te dan a) b) c), es mas, exequiel empezo por el b (pero me juego a q fue mas para q el ejercicio salga mas entendible q por otra cosa)..
Esta materia lamentablemente tiene en sus guias de ejercicios problemas q no valen la pena, son una perdida de tiempo (sigo recordando alguno q otro de Lagrange) y otros q SI valen la pena, pero son dificiles de distinguir cual vale la pena y cual no....
En fin, todo esto es para decirte que no te asustes si algun ejercicio no te sale por mas vueltas q le des, es perfectamente normal y mas con estas practicas de Analisis.. La posta es tener lo teorico bien firme y lo demas sale por osmosis.. !
Saludos

Por diosssss... es por esto que nunca se ponen de acuerdo en reformular la práctica de Análisis...

Nico?, ¿qué tiene de malo que un problema no salga? ¿Por qué te desmoralizás frente a ello? Este es EL MEJOR problema de la práctica 1 (o 0, no recuerdo), más allá de que debería redactarse mejor. Es uno de los pocos en los que hay que pensar un poco y tenerla más o menos clara, es decir, el único que plantea un verdadero desafío. El tema es cómo te lo tomás. Uno está muy acostumbrado a que en las práticas todo sale derecho, fácil y sencillo, cuando la idea es que la práctica empiece así, y termine estando un poquito más allá de tus posibilidades, como para que te esfuerces y lo pienses y hayan cosas que no salgan. Este es un excelente ejemplo: este es un ejercicio que no debería salir cuando recién empezás la materia, pero eventualmente sí. Nadie dice que las guías tengan que salir, pero si lo pensaste un poco, si te trabaste y probaste un par de cosas antes de decir "no me sale" este ejercicio cumplió su propósito. De hecho, el problema no es que este ejercicio esté en la práctica, sino que no hayan más ejercicios como este.

Una de mis materias favoritas fue una en la que las prácticas NO salían, muchas veces, y entonces te rompías la cabeza pensando. Y cuando ibas a consultar, te decían "Ah, sí, eso que hiciste es la mitad difícil del teorema de forma deJordan, hacés esto y esto y sale..." Era frustrante por un lado, pero cuando veías todo lo que habías pensado y todo lo que habías hecho, era realmente estimulante.

Saludos.

Después de meditar adecuadamente(todo el anterior cuatrimestre...), estoy de acuerdo con Yossarian; el problema de las prácticas de análisis, la razón por la que no me agradan, es porque les faltan ejercicios que hagan pensar más al lector, al estudiante(bueno, también no me gustan los problemas de física, pero esa es una cuestión personal...) . Creo que es bastante productivo trabarte en un ejercicio, siempre que pienses formas de encararlo. En el desarrollo del apunte, hasta ahora los ejercicios que seleccionamos(también elegió Nico, irónicamente), nos aseguramos que no sean inmediatos, y requieran pensar(incluso uno trata de probar que un espacio vectorial normado real, tiene una norma derivada de un producto escalar si y sólo si se verifica cierta condición). A veces un ejercicio bien pensado pero mal redactado arruina la idea, es cierto(este ejercicio casualmente cuando lo empecé a probar, en el cuatrimestre pasado, estaba pensándolo con Nico, y me acuerdo que salía en ese orden, en el orden que los escribí. Aún cuando protesté al principio, después de tranquilizarme, observé que había obtenido una manera de calcular la raíz cuadrada de un número real positivo, a través de un proceso iterativo, y me di cuenta que había valido la pena), pero no es razón para no hacerlo. En definitiva; aún el ejercicio más cuentoso sirve(aunque deteste hacer cuentas...). Saludos.

Jajaja, sabia q alguien iba a estar en desacuerdo... Eso es bueno, asi puedo saber q piensa alguien mas y no encasillarme en mis propios pensamientos.. en cuanto al ejercicio, me parece q es pesado considerando q es el principio de la primer materia de la carrera (unas cuantas) y todavia no se esta acostumbrado a eso.. en fin, si a alguien le parece util el ejercicio, y q sirvio para afrontar algo nuevo, listo cumplio su cometido...
Yoss, hasta ahora fuiste el q mas me contradijo los comentarios que hago.. asi q cuidado con q tu auto explote o algo 😈 ... na, todo bien 😆

(Agrego desp de leer el comment de exequiel, no quiero dar la impresion de q estoy en contra de los ejercicios para pensar ! al contrario, esos son los q valen la pena, los ejercicios q para resolverlos tenes q pensar una forma completamente alternativa de aplicar lo q sabes..)

Y bueno Nico?... soy el gran enemigo del lado oscuro y sus cookies que te invaden la PC. Todo bien, pero eso de que "es malo que el ejercicio no me salga" habría que extirparlo de la faz de la tierra. Hay MIL ejercicios que no le salen a la gente cuando lo intenta por primera vez. Yo her resuelto problemas de prácticas 1 año después de cursada la materia, porque me quedó el ojo en tinta de no poder resolverlo... y bueh, c'est la vie. Así aprendés más que de la otra forma. Abrazo.

Ese ejercicio me parece muuuy interesante y ademas es la base de una rama de la matematica llamada Analisis Numerico (Es el metodo de Newton). Hay una linda interpretacion:
Supongamos que quiero calcular raiz de 2. es lo mismo que construir un cuadrado de area 2 porque en ese caso eso es lo que mide un lado. (Ahora hagan fuerza con la imaginacion) Empiezo con un rectangulo de 1x2, que tiene area 2. Como no es un cuadrado no me sirve. Para acercarme un poquito promedio los lados y me da 1.5 pero para que siga con area 2 pongo un lado de 1.5 y el otro de 2/1.5. Repitamos el procedimiento: el segundo rectangulo tendra lados (1.5+2/1.5)/2 y 2/((1.5+2/1.5)/2). Si iteramos esto indefinidamente la sucesion de las bases es la del ejercicio. Y es obvio geometricamente que estos rectangulos tienden a un cuadrado de area 2.