practica 1 ejercicio 23 a)

En realidad posteo este ejercicio de paso para practicar tex, pero si alguien puede darme una resolucion se lo agradeceria
Este es el ejercicio:
Decidir si el siguiente conjunto es cerrado y acotado:

En realidad, fijate que la idea es sencilla:
No se cómo lo viste en la teórica, pero decir que un conjunto es acotado es decir que se encuentra extrictamente dentro de alguna bola de radio \(r\). Particularmente, uso la definición que vi yo en la teórica del cuatrimestre pasado(igual son equivalentes...), que es la de que un conjunto \(A\subset \mathbb{R}^{n}\) es acotado \(\iff\) existe una bola cerrada \(B\eq={B}_{[\overline{0},r]}:A\subset B\). En este caso, esto se ve fácilmente; en efecto, tomando, por ejemplo, \(B\eq=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:{x}^{2}+{y}^{2}\leq 4\}\), se ve inmediatamente que \(A\subset B\), pues \(A\eq=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:{x}^{2}+{y}^{2}<1\}\). Como \({x}^{2}+{y}^{2}<1<4\implies (x,y)\in A\implies (x,y)\in B\). La inclusión es estricta, pues el elemento \((0,2)\in B\), pero no está en \(A\). De acá que \(A\) es acotado. ¿Es cerrado \(A\)? Recordando que un conjunto cerrado es aquel que contiene a todos sus puntos de acumulación, es fácil ver que los puntos de la frontera de \(A,\;Fr(A)\), son puntos de acumulación. Recordando la propiedad de que un punto \(Y\in A\) es de acumulación \(\iff \exists {X}_{n\in\mathbb{N}}\subset A:{X}_{n}\neq Y\forall n,\;\lim_{n\rightarrow \infty}{X}_{n}\eq=Y\), veamos simplemente que, por ejemplo, \((0,1)\) es un punto de acumulación de \(A\) y no está en \(A\). Para ello, es facil ver que la sucesión \({X}_{n}\eq=(0,1-\frac{1}{n})\subset A\land {X}_{n}\rightarrow (0,1)\). En efecto, converge a tal punto es fácil de ver; veamos que está incluída. Para ello, basta probar que \({0}^{2}+{(1-\frac{1}{n})}^{2}\eq={(1-\frac{1}{n})}^{2}<1,\forall n\), lo cual se verifica, pues \(1-\frac{1}{n}<1\iff -\frac{1}{n}<0\). Luego, su cuadrado es menor que \(1\); sigue que la sucesión está contenida(\(x<1\implies {x}^{2}<1\)). Además, converge al punto que dijimos, con lo que es un punto de acumulación y no se halla en \(A\); sigue que \(A\) no es cerrado.
De aquí, concluímos \(A\) acotado y no cerrado.
Espero haber sido claro y ayudado. Saludos.

gracias me aclaraste mucho las dudas sobre este tema, y ademas ahora manejo el tex mucho mejor