[No Resuelto] P:1 - Ej. 23 Parte C

Buenas Tardes, quería consultar por este ejercicio de la Práctica 1. No se como encararlo para probar estos enunciados. Ni como demostrar que es abierto para un A en general. Gracias.

Sea \(A\,\subset\,\mathbb{R}^n\) . Mostrar la equivalencia de los siguientes dos enunciados:

1. A es abierto
2. Cualquiera sea \(y\, \varepsilon\,A\), existe r > 0 tal que

Para probar que A es abierto yo lo pienso como un juego entre dos personas:
Paso 1: Yo te doy un punto x.
Paso 2: Vos buscas un radio r de manera que la bola de centro x y radio r este incluida en A.

Si vos no podes completar el paso 2 yo gano y si siempre lo podes completar ganas vos.

Resulta que A es abierto si y solo si vos ganas.

Pruebo 1 implica 2, 2 implica 1 es similar.

Sabemos que A es abierto, debemos probar 2. Para eso dado y en A tenemos que encontrar el r, por la definicion de abierto sabemos que hay una bola de radio s centrada en y que esta toda incluida en A. Tomemos r generico. Hay que ver que si \(||x-y||_{\infty}<r\) entonces x \(\in\) A. Como la bola de radio s centrada en y esta contenida en A basta ver que x esta en esta bola, entonces calculamos:
\(||x-y||_2^2=\sum(x_i-y_i)^2 \leq \sum r^2=n r^2\), esta ultima acotacion es porque \(||x-y||_{\infty}<r\)
Pero queremos \(||x-y||_2^2<s^2\) basta tomar entonces \(n r^2 <s^2\) o lo que es lo mismo \(r<s/\sqrt{n}\).

Espero que se entienda, cualquier cosa preguntá

Muchisimas Gracias!! Se entendió 😛