Supuestamente hay que acotarlo. Puede usarse algo de
\(\sum{\frac{1}{n^{p+1}}}\) para acotarla por abajo?
(viendo que \(\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1^p + 2^p +3^p + ... + n^p}{n^{p+1}}\eq= \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1^p}{n^{p+1}}+\frac{2^p}{n^{p+1}}+\frac{3^p}{n^{p+1}}+...+\frac{n^p}{n^{p+1}}\geq \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1^p}{n^{p+1}}+\frac{1^p}{n^{p+1}}+\frac{1^p}{n^{p+1}}+...+\frac{1^p}{n^{p+1}}}\))? La serie que queda es convergente, porque es una serie "p" con "p" mayor que 1 ("p" = p+1, p pertenece a N), pero no se a que converge.
Supuestamente, el resultado es 1/(p+1)
(perdon por los errores del tex)
Bueno, aca va la resolucion, es un tanto tramposa pero estuviste cerca con eso de las series p:
Sea \(a_n=\frac{1^p+...+n^p}{n^{p+1}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\frac{i}{n})^p=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n (\frac{i}{n})^p\)
Notemos ahora que eso es una suma parcial de una integral, mas precisamente de \(\int_0^1 x^p\). Entonces el limite ese tiene que dar el valor de la integral, es decir \(\frac{x^{p+1}}{p+1}|^1_0=\frac{1}{p+1}\).
La particion de [0,1] que estoy considerando es 0,1/n,...,(n-1)/n,1.
Gracias Quimey! Mirando un poco mas adelante en el libro, encontre lo que mando como adjunto, no entiendo bien que hace, porque dice como que usa infinitesimos o reglas de L'Hopital...
Esta sacado del libro http://cuba.dc.uba.ar/wiki/images/b/b4/Calculo_para_Ingenieria_%28Vera%29.pdf
pag 89 es donde aparece la "solucion"
Ese es el problema de leer libros para ingenieros 😛.
Esta usando una especie de regla de L'Hopital pero para sucesiones, tenes un cociente indeterminado, entonces si existe el limite del cociente de las derivadas entonces coincide con el que queres calcular. Pero en sucesiones la derivada se reemplaza con la diferencia \(a_{n+1}-a_{n}\).