Aqui les dejo mi aporte al foro. Lo hizo un profesor asi que tengan un poco de fe.
$$\textrm{13) Estudiar la continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de las siguientes funciones en el origen:}$$
\(\large { c)\)
$$\large f(x,y)=\begin{Bmatrix}\large {{x}^{3}-{y}^{3}}\over{\large{x}^{2}+{y}^{2}} & \mbox{ si }& (x,y) \neq{0} \ 0 & \mbox{si}& (x,y)=0\end{matrix} }$$
$$\displaystyle\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\displaystyle\xrightarrow[]{(x,y)\to(0,0)}0}$$
$$\left|x\right|,\left|y\right|\leq \left\|{(x,y)}\right\|\leq\delta$$
\(\left|{\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}}\right| =\)\(\frac{|{x^3-y^3}|}{{\left\|(x,y)\right\|}^2} \leq \frac{|x|^3 + |y|^3}{\left\|(x,y)\right\|^2} \leq\frac{2\left\|(x,y)\right\|^3}{\left\|(x,y)\right\|^2}=2\left\|(x,y)\right\|<2\delta<\displaystyle\varepsilon\Rightarrow\delta<\frac{\varepsilon}{2}\)
$$\textrm{$f(x,y)$ es continua en (0,0)}$$
\(f(0,0)=0, f_x(0,0)=1, f_y(0,0)=-1\)\
$$T(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0).(x-0) + f_y(0,0)(y-0)=x-y$$
$$\frac{f(x,y)-T(x,y)}{\left\|(x,y)\right\|}\xrightarrow{(x,y)\to{(0,0)}}0?$$
$$H(x,y)=\frac{\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}-x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}= H(x,y)=\frac{x^3-y^3-(x^2+y^2).(x-y)}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}\Longrightarrow$$
$$H(x,y)\xrightarrow{(x,y)\to(0,0)}0 ?$$
\(\textrm{No es diferenciable porque si usas $y=x$ e $y=-x$ te da 0 y $\neq 0$ respectivamente.}\)
Finalmente lo hice en Tex ahora que tengo un pokito mas de cancha.
PD: Porque se ve mal el \Longrightarrow?
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