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Tema

[No Resuelto] P:3 - 5

5 respuestas 6783 visitas
#1 FJL

Aloo. Como se viene el parcial ahora en unos dias, decidi dignarme a abrir las practicas. Oh sorpresa, soy un desastre. Asi que estoy viendo ejercicio por ejercicio si sale. En este en particular, me suena a que estoy mandando fruta en como lo resolví.

  1. Probar que la funcion \(f(x, y) = |x| + |y|\) es continua pero no admite derivadas parciales en el origen.

Para la primera parte, digo que...
Sea \(\varepsilon > 0, \exists \delta > 0 / ||(x, y)|| < \delta \rightarrow |f(x, y)| < \varepsilon\)
Entonces se\((\star_1)\) que \(|x| < \delta \land |y| < \delta\), y que como |x| es siempre creciente \((\star_2)\), si \(a < b, |a| < |b|\).

$$| |x| + |y| | = |x| + |y|$$
Por \(\star_1 \y \star_2\), \(|x| + |y| < \delta + \delta = 2\delta < \varepsilon\) Hasta ahi creo que no mandé fruta, pero existe esa posibilidad. Si es así, me disculpo y procederé a sentarme varias horas más leyendo "La Guía del Acotador Intergaláctico".

Ahora, lo feo viene ahora. Como me piden que no existan las derivadas parciales, hago cada una...
Primero, con respecto a x, tomando el vector (1, 0)...

$$\lim_{h \to 0}\frac{f((0, 0) + h(1, 0)) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{|hx|}{h} \overset{\underset{\mathrm{h>0}}{}}{=} \lim_{h \to 0}\frac{h|x|}{h} = \lim_{h \to 0}|x| = |x|$$
Pero entonces. No es que existe y es el módulo de x? Usando el mismo argumento, si lo hago con el vector (0, 1) me va a dar |y|. Es de mentira la derivada parcial si me da algo asi? O (bastante probable), mentí en alguna parte de ese razonamiento?

Saludos (y hola gente!),

Fede

EDIT: Agrego los tags de resolucion.

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

Editado 1 vez.

#2 Quimey

El error mas grave está en sacar h afuera del modulo, lo que sale es |h|. Es decir \(|hx|=|h| |x|\)

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Quimey

#3 FJL

Ah OK, entonces la mentira esta en \(\overset{\underset{\mathrm{h>0}}{}}{=}\). Osea, como h -> 0 por derecha e izquierda, y por un lado me da -|x| y por el otro |x|, no existe el limite y por lo tanto no existe la derivada?

Tiene sentido, gracias. 🙂

#4 Pato

Así es Fede, así es

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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'

#5 Frangipani

A ver, a mi parecer hay otros problemas, pero puede que me equivoque. Corríjanme por favor.

Para ver si las derivadas parciales existen yo tengo que calcular

$$\lim_{h \to 0}\frac{f((0, 0) + h(1, 0)) - f(0, 0)}{h} =$$
Que es igual a \(\lim_{h \to 0}\frac{f((h+0, 0)) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{|h|}{h}\)

y dependiendo de si me acerco por izquierda o derecha el límite variaría entre 1 y -1

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"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde

Editado 2 veces.

#6 Pato

Si, lo que no te da la derivada termina siendo lo mismo, pero Fede metió una x por ahí que está de más
Yo no me di cuenta en su momento