#1 .-Eze-. 2009-03-24 22:50 Los ejercicios son "24)a)Mostrar que los siguientes subconjuntos de \(\mathbb{R}^{2}\) son abiertos:
\(A= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 1<{x}^{2}+{y}^{2}<{7}\}\)
\(A= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 2x + y > 1\}\)
El 2) no tengo ni idea de como empezar a encararlo (si alguien se toma la molestia de hacerlo, se lo agradecere muchisimo..sino al menos, alguna ayuda de como poder empezar a encararlo tampoco vendria mal, igual seguramente si no tengo respuestas en el foro ni en mi cabeza despues le preguntare a algun profesor en la facu)..
El 1) lo hice de una forma (fue mi primer intento de realizar una "demostracion" en mi vida =P) por lo que seguramente que en algun lado frutee mal..espero que me puedan ayudar a encontrar el error y solucionarlo..gracias de antemano, saludos!
\(1<\sqrt[2]{x^{2}+y^{2}}<\sqrt[2]{7}\)
$$1<\left|\left|(x,y)\right|\right|<\sqrt[2]{7}$$
Quiero ver que para todo P \(\in\) A, \(\exists r > 0 / Br(P) \subseteq A\)
$$r=\left|\left|P\right|\right|-1$$
$$Br(P)=\left|\left|V-P\right|\right|< r$$
\(Br(P)=\left|\left|V-P\right|\right|<\left|\left|P\right|\right|-1\) (*)
\(\left|\left|P\right|\right|=\left|\left|(P-V)+V\right|\right|\) - Aplico desigualdad triangular - \(\leq \left|\left|P-V\right|\right|+\left|\left|V\right|\right|\)
Osea, tengo que:
$$\left|\left|P\right|\right|\leq \left|\left|P-V\right|\right|+\left|\left|V\right|\right|$$
Reemplazo ||P|| en (*) y me queda:
$$\left|\left|V-P\right|\right|<\left|\left|P-V\right|\right|+\left|\left|V\right|\right|-1$$
simplificando y pasando el 1, queda:
$$1<\left|\left|V\right|\right|$$
Ahora me faltaria comprobar que V es tmb menor a \(\sqrt[2]{7}\), para poder decir que V \(\in\) A:
$$\left|\left|V\right|\right|=\left|\left|(V-P)+P\right|\right| \leq \left|\left|V-P\right|\right| + \left|\left|P\right|\right|$$
$$\left|\left|V\right|\right|-\left|\left|P\right|\right| \leq \left|\left|V-P\right|\right|$$
Y tenia que:
$$\left|\left|V-P\right|\right|<\left|\left|P\right|\right|-1$$
y que: P \(\in\) A \(\Leftrightarrow\) 1 < ||P|| < \(\sqrt[2]{7}\)
Por lo tanto, me queda:
$$\left|\left|V\right|\right|-\left|\left|P\right|\right| < \left|\left|V-P\right|\right|< \left|\left|P\right|\right|- 1$$
$$\left|\left|V\right|\right|-\left|\left|P\right|\right| < \left|\left|V-P\right|\right|< \sqrt[2]{7} - 1$$
$$\left|\left|V\right|\right|-\left|\left|P\right|\right| < \sqrt[2]{7} - 1$$
Como 1 < ||P||:
$$\left|\left|V\right|\right|- 1 < \sqrt[2]{7} - 1$$
quedando:
$$\left|\left|V\right|\right| < \sqrt[2]{7}$$
Por lo tanto, V \(\in\) A y A es abierto.
#2 .-Eze-. 2009-03-24 23:24 buen, me acabo de dar cuenta de un error en la 2da parte XD, cuando qiero mostrar q es menor que la raiz cuadrada de 7..despues me fijo bien y lo corrijo (ahora me tengo que ir..), pense tmb en solucionarlo empezando por ||V-P|| < \(\sqrt[2]{7}\) - ||P|| y hacer algo similar que en la 1era parte, no se si estara mal o bien, pero despues pruebo, cualquier consejo o ayuda o error que ven avisenmenn, gracias! salu2!
EDIT: ya volvi, hago lo que se me habia ocurrido:
$$\left|\left|V\right|\right|=\left|\left|(V-P)+P\right|\right| \leq \left|\left|V-P\right|\right| + \left|\left|P\right|\right|$$
Por lo tanto tengo que --> \(\left|\left|V\right|\right| \leq \left|\left|V-P\right|\right| + \left|\left|P\right|\right|\)
Paso el ||P||:
$$\left|\left|V\right|\right|-\left|\left|P\right|\right| \leq \left|\left|V-P\right|\right|$$
Como \(Br(P)=\left|\left|V-P\right|\right| < \sqrt[2]{7} - \left|\left|P\right|\right|\)
$$\left|\left|V\right|\right|-\left|\left|P\right|\right| \leq \left|\left|V-P\right|\right| < \sqrt[2]{7} - \left|\left|P\right|\right|$$
$$\left|\left|V\right|\right|-\left|\left|P\right|\right| < \sqrt[2]{7} - \left|\left|P\right|\right|$$
Los "||P||" se cancelan, quedando:
$$\left|\left|V\right|\right| < \sqrt[2]{7}$$
#3 Mr. Satán 2009-03-26 00:29 La idea es esa,está bien, lo que no estoy seguro es que vos tomaste \(r=\|P\|-1\)
y que para la segunda parte usaste que: \(\|V-P\|<\sqrt{7}-\|P\|\)
o sea, (creo que...) habría que mostrar que vale: \(\|P\|-1=\sqrt{7}-\|P\|\)
para después usarlo en las desigualdades. Igual yo lo hice como lo planteaste vos.
Para el de \(2x+y>1\) yo usé que B es abierto si y sólo si su complemento es cerrado:
\(B^{c}= \lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^{2} \vert \ 2x+y\leq 1 \rbrace\) es cerrado
\(\Longleftrightarrow\) B es abierto.
Para mostrar que B complemento es cerrado tomé \(P=(0,1)\ \ ,\ P\in B^{c}\ \ y\ r=1\)
Esa bola en particular no está incluida en B complemento, eso muestra que es cerrado, entonces B es abierto.
Fijate que el ejercicio 24 dice mostrar ( y no demostrar)....creo que alcanza con hacer los dibujitos y fijarse un
radio o un contraejemplo adecuado.
Igual estaría bueno si lo pueden escribir más formal o ver si falta algo...
Firma
The End Of This Chapter...
#4 Yossarian 2009-03-27 04:23 Chicos, chicos, esto ya se consultó, fíjense en el foro...
De todas formas, les dejo esto... http://entrada47.files.wordpress.com/20 ... isisi1.pdf
#5 .-Eze-. 2009-03-27 23:22 Uhh perdon, es que en realidad me fije, pero como esta con otro numero el ejercicio (no sabia q todas las practicas eran diferentes a las de años anteriores - o por lo menos en otro orden -, pensaba q solo la practica 4 y 5 sino recuerdo) no me di cuenta..
gracias por avisar..
#6 Diego.- 2009-04-06 19:03
Mr. Satán escribió:
La idea es esa,está bien, lo que no estoy seguro es que vos tomaste \(r=\|P\|-1\)
y que para la segunda parte usaste que: \(\|V-P\|<\sqrt{7}-\|P\|\)
o sea, (creo que...) habría que mostrar que vale: \(\|P\|-1=\sqrt{7}-\|P\|\)
para después usarlo en las desigualdades. Igual yo lo hice como lo planteaste vos.
Para el de \(2x+y>1\) yo usé que B es abierto si y sólo si su complemento es cerrado:
\(B^{c}= \lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^{2} \vert \ 2x+y\leq 1 \rbrace\) es cerrado
\(\Longleftrightarrow\) B es abierto.
Para mostrar que B complemento es cerrado tomé \(P=(0,1)\ \ ,\ P\in B^{c}\ \ y\ r=1\)
Esa bola en particular no está incluida en B complemento, eso muestra que es cerrado, entonces B es abierto.
Fijate que el ejercicio 24 dice mostrar ( y no demostrar)....creo que alcanza con hacer los dibujitos y fijarse un
radio o un contraejemplo adecuado.
Igual estaría bueno si lo pueden escribir más formal o ver si falta algo...
Que una bola en particualar no este contenida, no implica que sea cerrado. Hay intervalos que no son ni abiertos, ni cerrados
#7 Mr. Satán 2009-04-12 01:46 Tenes razón no había leído muy bien la teórica...en el apunte que subió yossa está bien resuelto
gracias!