Tema

[No Resuelto]- Preliminares- Ejercicio 11 (2009)

7 respuestas 10900 visitas 2009-03-23

#1 Mr. Satán 2009-03-23 00:55

No puedo con este ejercicio:

Dada la sucesion ${a}_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$:
c)Usando que $n!>2^{n-1}$ para todo $n\geq 3$, compruebe que 3 es una cota superior de esta sucesion.

Concluya que existe el limite al que llamaremos $e$ y que cumple$2< e\leq 3$

Firma

The End Of This Chapter...

#2 exequiel131719 2009-03-23 06:47

Bueno, acá va la resolución:
Recordando que ${(a+b)}^{n}\eq=\sum_{i\eq=0}^{n}{n \choose i } {a}^{n-i}{b}^{i}$, y usando ${n \choose i }\eq=\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{i!}$, tenés:
a- ${a}_{n}\eq={(1+\frac{1}{n})}^{n}\eq=\sum_{i\eq=0}^{n}{n \choose i }\frac{1}{{n}^{i}}\eq=1+1+\sum_{i\eq=2}^{n}{n \choose i }\frac{1}{{n}^{i}}$
Sacando factor común $n$ en cada término del numerador de la suma, se tiene:

1+1+\sum_{i\eq=2}^{n}{n \choose i }\frac{1}{{n}^{i}}\eq=2+\sum_{i\eq=2}^{n}\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{i!}\frac{1}{{n}^{i}}\eq=2+\sum_{i\eq=2}^{n}\frac{{n}^{i}(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{i-1}{n})}{i!}\frac{1}{{n}^{i}}\eq=2+\sum_{i\eq=2}^{n}\frac{(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{i-1}{n})}{i!}

Ahora, notá que $\sum_{i\eq=2}^{n}\frac{(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{i-1}{n})}{i!}\leq \sum_{i\eq=2}^{n}\frac{1}{i!}$, pues cada término de la suma en su numerador tiene $1-a\leq 1$ siempre. Usando ahora que $n!>{2}^{n-1}\iff \frac{1}{n!}<\frac{1}{{2}^{n-1}}$, tenés:

{a}_{n}\leq 2+\sum_{i\eq=2}{n}\frac{1}{i!}< 2+\sum_{i\eq=2}^{n}\frac{1}{{2}^{i-1}}<2+1\eq=3

Lo último se debe a que $\sum_{i\eq=2}^{n}\frac{1}{{2}^{i-1}}<\sum_{i\eq=1}^{+\infty} \frac{1}{{2}^{i}}\eq=1$. Esto prueba que ${a}_{n}$ es acotada superiormente. Veamos que es monótona creciente...(empiezo antes de que acoté)

{a}_{n}\eq=2+\sum_{i\eq=2}^{n}\frac{(1-\frac{1}{n})\cdots (1-\frac{i-1}{n})}{i!}\leq 2+\sum_{i\eq=2}^{n}\frac{(1-\frac{1}{n+1})\cdots (1-\frac{i-1}{n+1})}{i!}

Lo que hice fue acotar cada término disminuyendo más el denominador de la fracción que resto, lo que claramente aumenta cada factor del producto del término de la suma. Ahora, multiplicando y dividiendo cada factor por $n+1$...

{a}_{n}\leq 2+\sum_{i\eq=2}^{n}\frac{(1-\frac{1}{n+1})\cdots (1-\frac{i-1}{n+1})}{i!}\eq=2+\sum_{i\eq=2}^{n}\frac{(n+1)(n+1-1)\cdots (n+1-i+1)}{i!}\frac{1}{{(n+1)}^{i}}\eq=2+\sum_{i\eq=2}^{n} {(n+1)\choose i}\frac{1}{{(n+1)}^{i}}\leq 2+\sum_{i\eq=2}^{n+1} {(n+1)\choose i}\frac{1}{{(n+1)}^{i}}\eq=\sum_{i\eq=0}^{n+1} {(n+1)\choose i}\frac{1}{{(n+1)}^{i}}\eq={a}_{n+1}

Esto prueba que ${a}_{n}\leq {a}_{n+1}$ para $n>2$(estoy usando que lo pude separar en la suma de sus primeros dos términos, y luego otra suma). Probá a mano que $2<{a}_{1}\leq {a}_{2}\leq {a}_{3}$, y tenés la monotonía de ${a}_{n}$. Luego, $2<{a}_{n}<3$ y es monótona creciente. Luego converge a $2<e\leq 3$(el menor o igual final se debe ea que cuando tomás límite, como es monótona, no podés asegurar que el supremo de la sucesión sea menor estricto a $3$. A menos que busques una cota mejor, que se puede, pero ahora escapa a mis ganas...), como querías ver. Espero que quede claro. Se me pudo escapar algo(o bastante), pero esa es la idea. Saludos.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#3 Mr. Satán 2009-03-23 21:55

Gracias exequiel131719!! 😄

Está muy claro y ademas resolviste todo el 11, incluso los items anteriores al c):

a) probar que es monotona creciente (también me había trabado acá con la sumatoria)

b) comprobar que esta acotada inferiormente y calcular el minimo (sale gratis sabiendo que es monotona creciente)

Igual me quedé pensando si no está mal puesto este ejercicio al principio, porque recién comenzadas las clases es muy raro tener un claro manejo de las sumatorias y de las acotaciones...

gracias nuevamente!

#4 Pepi 2009-04-13 01:19

Editado 1 vez.

#5 Quimey 2009-04-13 01:45

Pepi escribió:
$\textrm{${\left({n + 1}\right)}^{n} {\left({n + 1}\right)}^{n + 1} \leq {\left({n + 2}\right)}^{n + 1} {\left({n}\right)}^{n}$}$ $\textrm{Y como esto vale $\forall$ n $\in \mathbb{N}$, ${a}_{n}$ es monotona creciente.}$

Como haces para demostrar que eso vale?
Además te faltarian un par de si y solo si's.
No es un ejercicio facil, de hecho estuvimos pensandolo con un par de amigos como media hora, no nos salio asi que nos fijamos en el noriega, ahí la cuenta esta hecha con todo detalle, al igual que en el post de exequiel

Firma

Quimey

#6 Pepi 2009-04-13 02:04

Editado 1 vez.

#7 Diego.- 2009-04-15 01:08

Pepi escribió:

Mi resolución (o intento de) fue bastante más humilde... aunque tampoco sé si suficiente...

$\textrm{a) $\forall$ n $\in \mathbb{N}$, ${a}_{n} \leq {a}_{n+1}$}$
$\textrm{${\left(1 + \frac{1}{n}\right)}^{n} \leq {\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right) }^{n + 1}$}$ $\textrm{${\left(\frac{n + 1}{n}\right)}^{n} \leq {\left(\frac{n + 2}{n + 1} \right) }^{n + 1}$}$ $\textrm{${\left({n + 1}\right)}^{n} {\left({n + 1}\right)}^{n + 1} \leq {\left({n + 2}\right)}^{n + 1} {\left({n}\right)}^{n}$}$ $\textrm{Y como esto vale $\forall$ n $\in \mathbb{N}$, ${a}_{n}$ es monotona creciente.}$ $\textrm{b) Quiero ver si $\exists$ m tal que m $\leq {a}_{n} \forall$ n $\in \mathbb{N}$}$ $\textrm{como ${a}_{n}$ es monotona creciente, entonces}$ $\textrm{$\forall$ n $\in \mathbb{N}$, ${a}_{1} \leq ... \leq {a}_{n} \leq {a}_{n+1}$}$ $\textrm{${a}_{1} = 2 \leq {a}_{n} \forall$ n $\in \mathbb{N}$}$
$\textrm{c) Todavia no se me ocurre como acotar :P}$

Capas, si juntaras todo lo que esta elevado a la n ( separando (n+1)^(n+1) en (n+1)^n . (n+1), por ejemplo, y dps juntarlo) y dps aplicando induccion, tal vez lo podrias demostrar.

Y el 3, no lo vas a poder acotar, hasta que no lo hagas como dijo exequiel, o por lo menos, creo que no hay otra manera de hacerlo con esa acotacion

#8 exequiel131719 2009-06-07 04:13

No se si se acuerdan de este post... pero bueno, acá va otra demostración en http://rinconmatematico.com/korovkin/korovnumeroe.pdf, para cerrar.
PD: ¿a esta demostración te referías, Juan?
PD 2😮jo, que tiene errores. Al menos en la primera proposición deberían ir todos $\leq$(salvo el primero, si recuerdo bien), y se está usando que la media geométrica siempre es menor o igual que la media aritmética(si los números involucrados son no negativos).