Hola, ayuda con este ejercicio
Calcular el volumen de las siguientes regiones:
b) R: encerrada por el cono de altura 4 dado por \(z^2=x^2+y^2\)
Saludos!
Tema
Practica 7 Ej 30
Este ejercicio a mano es molesto. Perdón, pero lo voy a calcular usando el teorema de cambio de variables. Sino, se puede evitar, y no es tan terrible... pero bueno(nota: en realidad, no es tan terrible sin el teo. de cambio de variables, pero quiero usarlo... caprichos míos). Cualquier cosa, si querés la otra resolución, avisá:
Supondremos \(z\geq0\), luego, tenemos \({z}^{2}\eq={x}^{2}+{y}^{2}\). Haciendo el cambio de variable a coordenadas cilíndricas \(x\eq=r\cos(\theta),\;y\eq=r\sin(\theta),\;z\eq=z\), se tiene:
$${z}^{2}\eq={r}^{2}\implies 0\leq r\leq z$$
Sabés que \(0\leq \theta < 2\pi\), y como la altura es \(4\), se tiene \(0\leq r\leq 2\). En definitiva, querés la integral(si \(R\) es la región que querés calcular el volumen):
$$\iint_{R}1\,dV\eq=V(R)$$
\(\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \int_{0}^{r}r\,dz\,dr\,d\theta\eq=2\pi \int_{0}^{2}{r}^{2}\,dr\eq=2 \frac{8}{3} \pi\eq=\frac{16}{3}\pi\).
Notá que coincide con la fórmula del volumen del cono \(V\eq=\frac{1}{3}\pi {r}^{2}h\), con \(r,h\) radio y altura respectivamente.
Espero haber ayudado. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities