hola a todos! aca les dejo el segundo parcial que me tomaron cuando estaba cursando analisis I. mas adelante voy a dejar las resoluciones de los ejercicios.
$$$ 1. Hallar un punto de la elipse de la ecuacion $ x^2 + xy + 2 y^2 + x +4y -54 = 0 $ tal que la suma de sus coordenadas sea maxima.$$
$$$ 2. Sea $ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ dada por la formula $ f(x,y) = x^2 + (y-1)^2 + 1$$
\($ a) Encontrar todos los extremos locales de $f $ en\)\(D= \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 / x^2 + y^2 < 4 \rbrace.\)
$$$Analizar la existencia de extremos absolutos en $ D $.$$
$$$ b) Econtrar los maximos y minimos absolutos de $ f $ en $ \overline{D} $.$$
$$$ 3. Analizar la convergencia de la integral impropia:$$
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{ |\sin^3 (4x)|}{\sqrt{3x^9+x^7}} dx$$
$$$ 4. Sea $ D= \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2/ 1\leq x \leq e, \ln (x) \leq y \leq 1 \rbrace$. Calcular la integral:$$
$$\int\int_{D} \cos \left(\frac{\pi(x-1)}{2e^y-2}\right) dA$$
$$$ 5. sea $ W= \lbrace (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / x^2 + y^2 + z^2 \leq 1, z\geq \frac{1}{2} \rbrace $. Calcular la integral triple:$$
$$\int\int\int_{W} \frac{1}{(x^2 + y^2 + z^2)^2} dV$$
Firma
$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$
para el 3)
\($abro la integral en 2 partes:$ \int_{0}^{+\infty} \frac{ |\sin^3 (4x)|}{\sqrt{3x^9+x^7}} dx = \int_{0}^{1} \frac{ |\sin^3 (4x)|}{\sqrt{3x^9+x^7}} dx + \int_{1}^{+\infty} \frac{ |\sin^3 (4x)|}{\sqrt{3x^9+x^7}} dx $. analizo el primer sumando: $ \int_{0}^{1} \frac{ |\sin^3 (4x)|}{\sqrt{3x^9+x^7}} dx = \int_{0}^{1} \frac{ |\sin^3 (4x)|}{\sqrt{x^7} \sqrt{3x^2+1}} dx $ se ve bien que el denominador solo tiene una raiz en $ x=0 $. Sea $f(x)= \frac{ |\sin^3 (4x)|}{\sqrt{x^7} \sqrt{3x^2+1}} \Rightarrow $ acoto $ f(x) \leq g(x) $ y si $ \int g(x) dx $ converge entonces por el criterio de comparacion tambien lo hace $\int f(x) dx$. Usando que $ |\sin (x)| \leq |x| \Rightarrow |\sin^3 (4x)| \leq |4x|^3 $ $ \forall x \Rightarrow \frac{ |\sin^3 (4x)|}{\sqrt{x^7} \sqrt{3x^2+1}} \leq \frac{ 4^3|x|^3}{\sqrt{x^7} \sqrt{3x^2+1}} = \frac{ 4^3 x^3}{\sqrt{x^7} \sqrt{3x^2+1}} $ pues $ x $ se mueve entre $ 0 $ y $ 1$. luego uso el criterio del limite:\)
$$$ propongo $ g(x) = \frac{ 4^3 x^3}{\sqrt{x^7} \sqrt{3x^2+1}} , h(x)= \frac{1}{\sqrt x} $ entonces si $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{g(x)}{h(x)} = L \in \mathbb{R} \Rightarrow $ si $ \int h(x) dx $ converge, tambien lo hace $ \int g(x) dx. \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{4^3}{\sqrt{3x^2 +1} }= 4^3 \Rightarrow $ como $ \int h(x) dx $ converge $ \Rightarrow \int g(x) dx $ converge $ \Rightarrow \int f(x) dx $ converge.$$
\($ Ahora analizo el segundo sumando $ \int_{1}^{+\infty} \frac{ |\sin^3 (4x)|}{\sqrt{3x^9+x^7}} dx $. Uso la cota $ |\sin^3(4x)| \leq 1 \Rightarrow $ si $ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{3x^9+x^7}} dx $ converge tmb lo hace la original por el criterio de comparacion. Uso nuevamente el criterio del limite y propongo como $ g(x) = \frac{1}{\sqrt{3x^9+x^7}}, h(x)= \frac{1}{x^\frac{9}{2}} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{3+ \frac{1}{x^2}}}= \frac{1}{\sqrt3} \Rightarrow $ como $ \int h(x) dx $ converge $ \Rightarrow \int g(x) dx $ converge $ \Rightarrow \int_{1}^{+\infty} \frac{ |\sin^3 (4x)|}{\sqrt{3x^9+x^7}} dx $ converge entonces los dos sumandos convergen entonces $ \int_{0}^{+\infty} \frac{ |\sin^3 (4x)|}{\sqrt{3x^9+x^7}} dx $ converge.\)
jajaj que bajon no me habia dado cuenta que habian subido los ejercicios, porque lo busque como el parcial completo.