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Tema

[Resuelto] 04/07/09 - Ej. 4 - 2do

4 respuestas 6989 visitas
#1 FJL

Este lo intenté hacer con un cambio de variables que me dejaba la región re linda...pero la integral sin primitiva. Era una estupidez si intentaba con Fubini...

$$\textrm{Sea D = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le x \le e - 1, \ln(x + 1) \le y \le 1\}$. Calcular la integral:}$$
$$\iint\limits_{D} \cos\left( \frac{\pi x}{2e^y - 2}\right) dA$$
Las restricciones que tenemos son \(0 \le x \le e - 1, \ln(x + 1) \le y \le 1\). Ahora, si intentás integrar así como así, primero por y y después por x, la vas a pasar muy mal. La onda claramente es cambiar ese orden de integración, y como solo hay dos variables, el orden va a tener que ser dxdy.

En este caso, Fubini nos dice que es indistinto "clavar" el x e ir mirando los y, que "clavar" el y e ir mirando los x. Para hacer esto, recomiendo dibujar la región deseada:
x2oy88.png

Lo que podemos observar es que no sería muy complicado "dar vuelta" los ejes, obteniendo una cosa así...

30w3y8y.png

Si no duele demasiado la cabeza al ver los números invertidos, podemos ver que el y se mueve ahora "lateralmente" entre 0 y 1, y el x se mueve "verticalmente" entre 0 (a la izquierda del gráfico) y...una función que no conocemos. Pero ahí vuelven a entrar en juego las ecuaciónes que nos dieron, entonces...

$$\ln(x+1) \le y \le 1$$
$$e^{\ln(x+1} \le e^y \le e$$
$$x + 1 \le e^y \le e$$
$$x \le e^y - 1 \le e - 1$$

Entonces, juntando lo que sabemos de la integral, nos quedan estas dos ecuaciones:

$$0\le y \le 1$$
$$0 \le x \le e^y - 1$$

Y con esto ya podemos integrar, cambiando el orden de los límites.

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{e^y-1} cos\left(\frac{\pi x}{2(e^y-1)}\right) dx dy$$

Integrar por x ese monstruo es trivial (es cos(x * constante)),

$$\int_{0}^{1} \left[\frac{2(e^y - 1)}{\pi} \sin\left(\frac{\pi x}{2(e^y - 1)}\right)\right]_{0}^{e^y - 1} dy$$
$$= {\int_{0}^{1} \frac{2(e^y - 1)}{\pi} dy = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{1} e^y - 1 dy = \frac{2}{\pi} \left[e^y - y\right]_{0}^{1} = \frac{2}{\pi} [e - 1 - 1] = \frac{2(e-2)}{\pi}}$$

Y listo 🙂

Espero que no tenga errores, en el parcial lo hice mal por intentar usar \(\varphi(x, y) = (ln(x+1), e^{x-1})\) como aplicacion, y la integral quedaba fea xD. Quizás salga de esa forma, ahora en un rato veo si lo puedo hacer con alguna otra aplicación, aunque claramente la idea del ejercicio era usar Fubini.

EDIT: Corregí el LaTeX.

Firma

Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

Editado 2 veces.

#2 Sofía

Lo resolví exactamente igual 😄

Firma
$$\bigstar Sofi \bigstar$$
#3 Floreal Ruíz

Me dió lo mismo !

Firma

Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...

#4 Maca....

No vi las cuentas,pero creo que,en mi humilde opinion, la idea esta muy bien,ademas pusiste dibujitos 😄 ...

#5 Floreal Ruíz

Sí, sí, una decisión muy acertada de FJL, la de poner dibujitos.
Me acuerdo que vi este ejercicio y pensé que, seguro tenía que hacer un cambio de variable, porque la función de adentro parecía muy fea. Por suerte solo era aplicar Fubini, como bien dijo FJL.