Hola!, este es mi primer post usando latex así que paciencia. Vi este ejercicio y no salió, así que lo dejo a ver si entre tod@s podemos ver que pasa...
Lo único que se me ocurrió es:
\(\int_{D}^{} \int 1\, dx\) \(= \int_{0}^{2} \int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}} x^2 + y^2 \,dx\)
Ahora, si yo quiero pasar esto a coordenadas polares, tengo un problema con los límites de integración pués \(\sqrt{2x-x^2}\) es algo así como una parábola achatada...
No aseguro que esté bien, pero bueno, ahí va...
Tenés:
$$0\leq{z}\leq{x^2+y^2}$$
$${x^2+y^2-2x}\leq{0}$$
Sumando 1 y restando uno en la ultima desigualdad, te queda un cuadrado perfecto, y te das cuenta que la region es un circulo de radio 1 con centro en el (1,0)
\({(x-1)^2 +y^2}\leq{1}\) (1)
Entonces, usemos polares.
\(T(r,\theta)=(r cos\theta, r sen\theta)\) (2)
El jacobiano es r.
Reemplazando (2) en (1) queda \({r^2sen\theta+(rcos\theta-1)^2}\leq{1}\), si desarrollás, sabiendo que r es mayor o igual a cero llegás a \({0}\leq{r}\leq{2cos\theta}\) y por otro lado \({0}\leq{\theta}\leq{2\Pi}\)
Ahora sí:
\(\int_{0}^{2\Pi}\int_{0}^{2cos\theta}r^3 dr d\theta\), y por ahi queda un coseno a la cuarta que me complica la vida pero supongo que es mejor que la integral del principio.
Ahora que veo lo que hiciste (yo no me doy cuentas de esas cosas, ¿por que?. ¿POR QUEEEEEEE? (mirando al cielo y suplicando) )... (a propósito, como se pone lo de (resolución) en verde... ahhh, ya vi el botón 🙂 )
En vez de \(T(r,\theta)=(r\cos(\theta),r\sin(\theta)),\)
$$T(r,\theta)=(r\cos(\theta)+1,r\sin(\theta))$$
Entonces el cambio de variables sobre sería...
$$(x-1)^2 + y^2 = r^2$$
Y la matriz jacobiana es la misma , el determinante entonces sigue siendo r si no estoy haciendo las cosas a las apuradas...
Luego.
$$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^3\,drd\theta$$
Después de esto, integrando, da \(\pi/2\) si mal no lo calculé
Si, a mi me dió lo mismo (sacando la primitiva fea por una tabla), pero voy a tener en cuenta lo que hiciste, está bueno. Lo mismo digo, porqué eso no se me ocurrió?!
Saludos!
Pd: fijate en la \(T(r,\theta)\) cambiaste un sen por un cos.
