Tomo \(f^2(x,y)=x^2+y^2\) que respeta máx y min de la función distancia porque esta ultima es creciente, etc etc etc.
Defino \(S= ${(x,y)}\in{R^3}/15x^2+15y^2+18xy=6}\)
Entonces igualo sus gradientes:
$$\nabla(x,y)=\lambda(\nablaS(x,y))$$
$$(2x,2y)=\lambda(30x+18y,30y+18x)$$
Resolviendo ese sistema me queda que \(x^2=y^2\)
Separo en dos casos,
si \(x=-y\) reemplazo en S y me quedan dos puntos
$$(\frac{1}{\sqrt[]{2}},-\frac{1}{\sqrt[]{2}}) y (-\frac{1}{\sqrt[]{2}},\frac{1}{\sqrt[]{2}})$$
Si x=y reemplazo en S y tengo otros dos puntos
$$(\frac{1}{\sqrt[]{8}},\frac{1}{\sqrt[]{8}}) y (-\frac{1}{\sqrt[]{8}},-\frac{1}{\sqrt[]{8}})$$
Evaluando los dos primeros y los dos segundos en \(f(x,y)\) me queda que los segundos son mínimos y los primeros máximos.
acabo de intentarrr hacer el ultimo...no tengo ni idea si esta bien (puede que haya tirado mucha fruta, especialmente con el razonamiento del final XD), ya que no he hecho ejercicios de integrales impropias, asi que espero que alguien lo verifique y me diga ^^...
las indeterminaciones estan en 3 y 6, entonces separas la integral en \(\int_{3}^{4}+\int_{4}^{6}\) para la primer integral el limite del integrando cuando el limite inferior tiende a 3 es 12, no es infinito ni nada, asi que esa converge seguro. para ver la segunda integral usas el criterio de comparacion con la funcion \(\frac{1}{\sqrt{6-x}}\) que es facil ver si converge o no y listo.
las indeterminaciones estan en 3 y 6, entonces separas la integral en \(\int_{3}^{4}+\int_{4}^{6}\) para la primer integral el limite del integrando cuando el limite inferior tiende a 3 es 12, no es infinito ni nada, asi que esa converge seguro. para ver la segunda integral usas el criterio de comparacion con la funcion \(\frac{1}{\sqrt{6-x}}\) que es facil ver si converge o no y listo.
=O...no sabia que con sacar el limite de la funcion de adentro de la integral y ver si converge, ya sabes que la integral converge tambien XD 😳
sisi es que entre 3 y 4 es como que no es realmente una integral impropia, entre 3 y 4 la funcion es continua en todos los puntos, todo lo que quieras, el unico problema esta en 3, pero seria una impropia posta si tendiera a infinito, si el limite es finito podes verlo como una inegral normal con discontinuidades en puntos aislados, que sigue siendo integrable
sisi quise decir el criterio ese del limite de la division de las dos funciones, pense que se llamaba de comparacion jaja. la verdad no hice las cuentas pero estoy casi seguro de que el limite es un numero no nulo y usar eso de que una converge sii la otra converge
sisi quise decir el criterio ese del limite de la division de las dos funciones, pense que se llamaba de comparacion jaja. la verdad no hice las cuentas pero estoy casi seguro de que el limite es un numero no nulo y usar eso de que una converge sii la otra converge
ah, esta bien..nosotros lo vimos como el de comparacion al de que si una funcion es menor que otra y esta ultima converge, entonces la otra que es menor converge tambien, etc..y mi duda mas alla de eso del nombre, tambien era por que en los apuntes del criterio del limite tenia "integral de un numero a infinito", y no sabia si se podia usar con otros limites de integracion tambien XD 😳 ...
y si, efectivamente, el limite de la division de esas 2 funciones da un numero (para ser exactos da \(\frac{144 \cdot ln(4)}{\sqrt[2]{6} \cdot 3}\) XD), asi que la integral converge..
aa buenisimo, le pegue (??) jaja. el teorema vale tambien aunque no se vaya a infinito, la idea es que x tienda al limite de integracion donde esta el problema
Ya se que es un post viejo, pero la integral no tiene ningun problema en 3, el numerador y el denominador se anulan simultaneamente en ese punto. O esta mal eso?
Ademas tengo una duda: analizar la existencia de la integral es lo mismo que ver la convergencia o divergencia de la misma?
Si grabriel tiene razón, en la primera integral si calculas el limite cuado que x=3 no da 12, da una indeterminacion 0/0, entonces tenes que ver como salvas la indeterminación y lo podeas hacer por L´H y sale, entonces esa parte no tiene problema y la otra sale como dijeron anteriormente. Con respecto a tu pregunta si es lo mismo, si la integral converge entonces existe, entonces cuando te piden analizar la existencia de la integral impropia no necesitas calcularla tenes que ver que converga.