Este ejercicio fue planteado por Yossarian en otro thread. Puesto que me pareció un buen ejercicio de integrales dobles y triples, lo separé y aquí esta:
Sea una pelota sólida(es decir, una buena aproximación de la tierra) y supongamos que su densidad depende únicamente de cuan lejos estamos del centro(solo de la distancia respecto al centro). Demostrar que el centro de masa está en el centro de la pelota sólida.
Sin pérdida de generalidad, pensamos en la pelota sólida como la región \(\mathbb{W}\) dada por la esfera y su interior, de radio \(R\), centrada en el origen de coordenadas; es decir, \(\mathbb{W}\eq=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\leq {R}^{2}\}\). Puesto que la densidad de la pelota depende solo del radio, tenemos \(\rho (r)\). Luego, quiere decir que si expreso la función \(\rho (x,y,z)\), cuando hago un cambio a coordenadas esféricas, solo hay dependencia del radio. Luego, nos importan estudiar las coordenadas del centro de masa, es decir, las integrales \(\int_{\mathbb{W}}x\rho (x,y,z)\;dV,\;\int_{\mathbb{W}}y\rho (x,y,z)\;dV,\;\int_{\mathbb{W}}z\rho (x,y,z)\;dV\). Estudiemos la primera, haciendo el cambio de variables usual de coordenadas esféricas:
\(\int_{\mathbb{W}}x\rho (x,y,z)\;dV\eq=\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}r\cos(\phi)\sin(\theta)\rho(r){r}^{2}\sin(\theta)\;d\theta d\phi dr\eq=\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}{r}^{3}\cos(\phi){\sin}^{2}(\theta)\rho(r)\;d\theta d\phi dr\).
Como estamos en una integral sobre un rectángulo, podemos separar las funciones adecuadamente para que quede un producto de integrales en una variable. En efecto, reescribiendo:
\(\int_{0}^{R}{r}^{3}\rho(r)\;dr \int_{0}^{2\pi}\cos(\phi)d\phi \int_{0}^{\pi}{\sin}^{2}(\theta)d\theta\).
Luego, si se observa que la integral \(\int_{0}^{2\pi}cos(\phi)d\phi\eq=0\), quedá probado que la coordenada x del centro de masa es 0.
Estudio la coordenada respecto de y:
Nuevamente, si se nota que \(\int_{0}^{2\pi}sin(\phi)d\phi\eq=0\), obtenemos de nuevo que la coordenada de y es 0.
Finalmente, si se trabaja con la coordenada z, obtenemos:
Si se estudia ahora la integral \(\int_{0}^{\pi}\cos(\theta){\sin}^{2}(\theta)d\theta\eq=0\)(no es muy difícil de ver; basta ver que una primitiva es \(\frac{{\sin}^{3}(\theta)}{3}\), y en esos límites de integración, el valor es 0. En realidad, ni siquiera se necesita calcular la integral para concluir que es 0 tal integral... pero esto escapa el espíritu del ejercicio). Concluyo que la integral es 0, luego la coordenada de z del centro de masa es 0.
Concluyo que el centro de masa es el \((0,0,0)\), el centro de la pelota, como quería probar.
Una cosa; en teoría, para calcular las coordenadas del centro de masa, tenía que conocer \(\int_{\mathbb{W}}\rho(x,y,z)\;dV\), porque cuando se calculan las dichosas coordenadas, este valor divide a las integrales calculadas. Puesto que los valores que se obtuvieron son 0, no necesité este valor. Otra cosa; usé todo el tiempo que la densidad dependía solo del radio, sino separar en las variables como hice no hubiese podido efectuarlo, pues tendría la \(\rho\) dependiendo de una variable más. Finalmente, usé una hipótesis más y es que la masa de la pelota no era nula. Esta hipótesis es más que aceptable, en el sentido que el objeto lo pensamos como una pelota o un planeta; objetos convencionales.
Espero que esté bien la resolución y espero haber ayudado. Saludos
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Fíjense que si bien finalmente los resultados dan cero, hubo que usar más conocimiento acerca de integrales y cambio de variables que hacer una cuenta larga o difícil. Este ejercicio me parece que tiene el espíritu de un final más que de un parcial. Ahora quiero que alguien (que no sea exequiel!! :p) resuelva otra que planteé...
Si una función \(f: \mathbb R^2 \to \mathbb R\), \(C^1\) se anula únicamente en un punto, digamos \(X\), entonces se tiene que \(\nabla f (X) = 0\). Notar que \(\mathbb R^2\) se puede cambiar por \(\mathbb R^n\) (pero, como dice John Fitzgerald Bonder, \(n\) suele ser 2 o 3...).
Exequiel deberia realmente ( \(\Re\) ) estar dando clase en un aula, ma q concurso ni concurso. Ahora en un rato me pongo a resolver el problema de Yossarian, porq yo ya lo pensaba como si valiera todo en \(R_n\)... se nota q estoy muy mal en analisis?
Supongo que si pruebo que vale lo que dijiste, extenderlo a n variables no puede estar muy lejos..
Se que \(f(a,b) = 0\) quiero ver que implica que \(\nabla f (a,b) = 0\) que a su vez implica \(F_x(a,b) = 0 \wedge F_y(a,b) = 0\)
Entonces, si por ejemplo, dejo el y = b fijo, puedo pensar en una funcion de una variable \(g(x) / g(x)= 0 \text{ si solo si } x = a\) y derivable en todo punto. Supongo que es ahi donde lo podria generalizar diciendo que dejo fijas n -1 variables y estudio que pasa en esta funcion g(x) de una variable, y decir que vale para todas las demas variables repitiendo el proceso n veces.
Si queres te tiro una sugerencia quemadora (No leas a menos que quieras saber como se hace)
Si el gradiente no es 0 podes usar implicita en alguna variable...
Avisame si necesitas mas ayuda
\(g\) es derivable, así que el límite tiene que existir... El tema es que estás tratando de reducirlo al caso de una variable, y en ese caso no es cierto. Por ejemplo, la función \(f(x) = x\) se anula solamente una vez en \(\mathbb R\) y sin embargo su derivada es \(f'(x) = 1\), que no es cero en el cero. Aclaración, \(n \geq 2\). Saludos.
PD: No solo es quemadora, sino que es complicadora... sale mucho más fácil.
Fijate que si te quedas con una funcion de una sola variable no es cierto, por ejemplo \(f(x)=x\) vale que\(f(x)=0 \Leftrightarrow x=0\) pero \(f'(0)=1\)
Bueno lo pongo igual pero Yossarian me gano de mano
Ah, con razon no salia ¬¬
Pero entonces, en vez de dejar fijas n -1 variables, dejo fijas n - 2 entonces me queda una funcion de \(\mathbb R^2 \to \mathbb R\) y ya esta porq las variables q fije pueden ser cualquiera y se que vale en \(R^2\). Buen, es lo unico que atino a escribir ahora sin pensar, porq se me hizo re tarde y mañana tengo el recuperatorio de esto =S
Solo aviso, pero en el post [Resuelto] Examen final de A.I, 18 de julio, 2008, completo, llamado ''[Resuelto] Examen final de A.I, 18 de julio, 2008, completo'', se probó que una función con solo la hipótesis de continuidad sobre \(\mathbb{R}^{2}\)(la generalización a \(\mathbb{R}^{n}\) es inmediata) si se anula en un solo punto es o toda positiva o toda negativa, salvo en ese punto. Luego alcanza un mínimo o máximo absoluto, según corresponda. Si se agrega ahora la hipótesis \({C}^{1}\), necesariamente es un punto crítico ese valor donde se anula la función, valiendo \(\nabla f({X}_{0})\eq=(0,0)\)(nuevamente, la generalización es inmediata). Solo una cosa; no hace falta pedir \({C}^{1}\); con pedir diferenciabla en \(\mathbb{R}^{2}\) ya está, porque sigue valiendo que la función es continua.
Yo vengo a plantear lo que pensé usando función implícita.
Llamo (xo,yo) al punto donde la función se anula.
Supongo que el gradiente en el punto no es cero, entonces puedo despejar alguna variable en función de las otras que tengo en un abierto (por ejemplo, si supongo que la derivada parcial en y no es cero puedo proponer g, tal que g(xo)=yo). De esa forma, por el teorema de la función implícita, además, sé que f(x,g(x)) = 0 en ese entorno de xo. Por ende la función se anularía en más de un punto, lo que es un absurdo y me deja en evidencia que el gradiente es cero específicamente.