[Resuelto] 04/07/09 - Ej. 5 - 2do

Este no lo pude terminar, solo ahora veo que era lo que tenían que describir las coordenadas.

Primero intentemos imaginarnos la región en nuestra cabeza. Lo que describe W es una esfera centrada en el origen, de radio 1, intersecada por un plano, cuyo vector normal es el eje z, a la altura \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) en el eje z. Pide la parte de la esfera que está por encima de este plano. Entonces, lo que podemos imaginarnos es cortar al gráfico por el plano xz, quedándonos algo así:

A medida que nos vamos moviendo por el eje y, lo que va pasando es que se hace mas chico el círculo. En definitiva, si lo vemos bien, en 3D tenemos algo que se parece a esto:

Bueno, con este dibujo en mente, parece natural usar coordenadas esféricas. También supongo que se podrían usar cilíndricas, pero para describir un pedazo de esfera, parece mas cómodo usar coordenadas esféricas.
Entonces podemos usar el siguiente cambio de variables, que es el práctico para cuando lo que tenemos que integrar se mueve "complicadamente" en z, en vez de x o y (es este caso, la restriccion del plano la tenemos en z):

En este caso, el jacobiano de esta transformación es \(|J| = r^2\sin(\varphi)\). Es clásica olvidarse del jacobiano hasta que te das cuenta, 20 minutos después, que la integral es imposible.

Como sabemos, esta transformación impone, por defecto, las siguientes restricciones:

Solo para recordar de lo que estamos hablando, esta es la transformación que vamos a estar haciendo:

Bueno, con esto, veamos como se va a mover cada cosa. Trivialmente se ve que \(\theta\) se mueve como se le canta, porque da toda la vuelta. Entonces a \(\theta\) le dejamos las restricciones iguales de las coordenadas polares.
En cuanto a \(\varphi\), vemos que no se mueve tanto como quiere en nuestro caso. Si vemos a W en el corte por el eje xz (el primer grafiquito), vemos que \(\varphi\) se tiene que mover solo desde los puntos donde la recta cruza al círculo. Cuales son estos puntos? Bueno, van a ser dos. Aparte de galerazos, esto sale de la ecuación que nos están dando. Fijate que sabemos que en esa recta, \(z = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Y sabemos que en coordenadas esféricas, \(z = r\cos(\varphi)\). También sabemos que, a lo largo del círculo, r = 1. Juntando esto, tenemos que...
\(\cos(\varphi) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Una solución de esto es \(\varphi = \frac{\pi}{4}\). No es necesario buscar la otra solución (que es obvia, pero bueno), porque \(\theta\) ya se está encargando de rotar, así que una vez que llegamos a este punto, rotando con \(\theta\) unos 180º llegamos al otro. En definitiva, lo que significa esto es que, como queremos cubrir esta región UNA vez, \(\varphi\) no se tiene que mover desde -45º a 45º, sino de 0 a 45º, porque la parte negativa se alcanza cuando \(\theta\) rota. Espero no haber confundido demasiado.

Bueno, y por último. Que le pasa a r? Sabemos que, por lógica, \(r > 0\). Pero claramente 0 no es una cota inferior buena. Otra vez, las ecuaciones al rescate. Como nos dicen que \(z \ge \frac{\sqrt{2}}{2}\), pasamos z a su equivalente en esféricas. Entonces tenemos:
\(r\cos(\varphi) \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \iff r \ge \frac{\sqrt{2}}{2\cos(\varphi)}\), porque el coseno es positivo en los lugares donde se mueve \(\varphi\) (0 a 45º). Bueno, esa es nuestra cota inferior de r.
La primera de las restricciones que nos dan, \(x^2 + y^2 + z^2 \le 1\), es fácilmente convertible a coordenadas esféricas, notando una propiedad de las mismas que es \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\). Entonces la condición se reduce a que \(r^2 \le 1 \iff r \le 1\), que se convierte en nuestra cota superior de r.

Bueno, ya está. Ahora, como diría Lidia, lo que quedan son cuentas (en las cuales tranquilamente me puedo haber equivocado).

Tomo \(u = \cos(\varphi), du = -\sin(\varphi) d\varphi\), me queda \(-\int \sqrt{2}u - 1\ du\). Integrando y reemplazando, \(\cos(\varphi) - \frac{\cos^2(\varphi)}{\sqrt{2}}\). Y listo.

Los números no me quedaron demasiado lindos, así que es muy bienvenida cualquier corrección, en el caso de notar algo erroneo.
También estoy viendo que se podría haber hecho con cilíndricas (2 cilíndricas, en una agarrás un "cono de helado con bocha de helado", y en la otra removés un cono sin helado. Te queda la integral de la bocha de helado, que es lo que queremos), así que si alguien lo resolvió así, taría bueno verlo 🙂

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

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Fijate que \(z \ge \frac{\sqrt{2}}{2}\) y ademas \(z \le \ 1\), por que W era una esfera de radio 1, centrada en el origen con un corte en \(z=\frac{\sqrt{2}}{2}\); entonces \(\frac{\sqrt{2}}{2}\le \ r \cos(\varphi)\le \ 1\); entonces \(\frac{\sqrt{2}}{2\cos(\varphi)}\le \ r \le \frac{1}{\cos(\varphi)}\) con \(\varphi\) entre \(0\) y \(\frac{\pi}{2}\). Pero la verdad que ahora que escribo esto no se si tiene mucho sentido, si alguien tiene la posta estaría bueno saber como se hacía.

Editado 1 vez.

como \(\cos \phi \leq 1\) entonces \(\frac{1}{\cos \phi}\geq 1\), asi que si tomas \(r\leq 1\) ya tenes garantizada esa condicion

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Quimey

Por lo que yo veo, si, \(z \le 1\), pero eso en polares no te determina el borde de la esfera, \(r \le 1\) lo hace. En polares, \(z \le 1\) te va a determinar lo mismo que acá te determina \(z \ge \frac{\sqrt{2}}{2}\); un corte por un plano. Osea, es una cota superior, pero no es la que describe a "caminar" por el borde de la esfera, describe a caminar por un plano que en este caso va a tocar tangencialmente a la esfera (z=1). Osea, una esfera de radio \(r_0\) la describís con \(r \le r_0\), no \(z \le r_0\). Es más, \(r \le r_0\) necesariamente implica \(z \le r_0\), dado que \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\).
Aunque porai entendí mal lo que dijiste, es temprano y todavía no desayuné xD

una pregunta.
Yo lo hice re re re pero recontra re a ojo. O sea, me fijé la figura y dije "bueno, los límites tienen que ser estos".
¿Alguien chequea que estén bien?

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Si me acuerdo bién de este, un límite inferior numérico (en vez de una expresión que dependa de \(\varphi\)) te va a dar un..como decirlo..."espejo concavo medio gordito", o una luna menguante, mas o menos. El corte que uno esta haciendo es por un z = k, pero el radio va a tocar ese z = k en distintos puntos, dependiendo de \(\varphi\). Por ejemplo, en R^2, ponerle dos límites numéricos a r, dejando tita libre, te produce una rosca. El borde interior es "curvo", no plano. El problema acá era conseguir describir ese borde plano, pero con coordenadas esféricas.

Perdón, estoy demasiado quemado para el recuperatorio de mañana como para dibujar bien el area que representa xD Pero...se "entiende" mas o menos, no?

EDIT: Lo otro es el límite de phi, con esta transformación en particular, el phi se va moviendo desde el eje z para abajo, osea, el eje z es 0 phi, no pi/2. Con otras transformaciones (que tienen otros jacobianos) phi se mueve en otra forma, pero sería otra fórmula distinta.

Yo calcule la integral

y me dio lo mismo.