Hallar el volumen del sólido \(W =\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 \leq 1 , 1 -x^2 - y^2 \leq z \leq 4\}\)
esto se parece a un cilindro con algo por ahí... así que
$$x = r \cos (\theta)$$
$$y= r \sin (\theta)$$
$$z = w$$
Como
$$x^2 + y^2 = r^2$$
$$r^2 \leq 1$$
Reemplazando:
$$1 - (r^2) \leq z \leq 4$$
Entonces,
$$\int_{0}^{2 \pi}\int_{0}^{1}\int_{1-r^2}^{4} r \; dw dr d\theta$$
$$2\pi \int_{0}^{1}( 4- 1+r^2)r dr = 2\pi(\frac{3}{2} + \frac{1}{4}) = \frac{7}{2}\pi$$
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