Fresquito fresquito. Les fué bien?
$$\textrm{1. Hallar un punto de la elipse de ecuacion x^2 + xy + 2y^2 -2x - y - 55 = 0$ tal que la suma de sus coordenadas sea maxima.}$$
Este salía facil...si no intentaban despejar lambda de la tercera ecuación. Si intentaban, la pasaban *como el orto*.
Bueno, nos piden maximizar una función, con una restricción. Llamemos \(g(x, y) = x^2 + xy + 2y^2 -2x - y - 55,\ f(x, y) = x + y\). EL objetivo es maximizar a f, dentro de g. Para esto podemos usar multiplicadores de Lagrange.
Tenemos que checkear que \(\nabla g \ne 0\), los puntos donde eso pase los estudiamos después.
\(\nabla g(x, y) = <2x + y -2, x + 4y - 1>\).
$$\nabla g(x, y) = (0, 0) \iff (x, y) = (1, 0)$$
Pero (1, 0) no cumple con g(x, y) = 0, así que no nos importa.
Entonces, el gradiante de f es trivial, \(\nabla f(x, y) = <1, 1>\).
Las funciones encima son \(C^1\), genial. Todo listo para usar Lagrange.
Entonces decimos que...
$$\nabla f = \lambda \nabla g$$
$$\begin{cases} 1 = \lambda(2x + y - 2) \\ 1 = \lambda(x + 4y - 1) \\ x^2 + xy + 2y^2 -2x - y - 55 = 0 \end{cases}$$
Durante la primera media hora la pasé muy mal intentando despejar \(\lambda\), despejándolo de las primeras dos, y reemplazando en la tercera....es innecesario. Lo que nos importa en definitiva no es el \(\lambda\), sino los \((x, y)\).
$${\begin{cases} 1 = \lambda(2x + y - 2) \\ 1 = \lambda(x + 4y - 1)\end{cases} \iff \begin{cases} \frac{1}{\lambda} = 2x + y - 2 \\ \frac{1}{\lambda} = x + 4y - 1\end{cases} \iff 2x + y - 2 = x + 4y - 1 \iff x = 3y + 1}$$
Reemplazamos esto en nuestra tercer ecuación del sistema, y tenemos que...
$$(3y+1)^2 + (3y+1)y + 2y^2 - 2(3y+1) - y - 55 = 0$$
$$9y^2 + 6y + 1 + 3y^2 + y + 2y^2 - 6y - 2 - y - 55 = 0$$
$$14y^2 - 56 = 0 \iff y = 2\textrm{ o } y = -2$$
Bueno, encontramos entonces que existen dos extremos, \((7, 2)\) y \((-5, -2)\).
Ahora basta con fijarnos evaluando estos dos puntos en f, y vemos cuál es el máximo (el otro puede ser un mínimo, la verdad importa poco).
$$f(7, 2) = 9$$
$$f(-5, -2) = -7$$
Entonces nuestro máximo se da en \((7, 2)\), siendo 9, y listo.
EDIT: Corregí el LaTeX.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
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