$$\textrm{1) Sea $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ la funcion $f(x,y)=e^{xy}-y+2$ y sea P el }$$
$$\textrm{polinomio de Taylor de orden 2 de $f$ centrado en el punto (0,0)}$$
$$\textrm{a)Calcular P}$$
$$\textrm{b)Probar que si $(x,y)\in [-\frac{1}{10},0]x[0,\frac{1}{10}]$, el error producido al aproximar}$$
$$\textrm{$f(x,y)$ por $P(x,y)$ es menor a $\frac{1}{10^4}$}$$
El polinomio me quedó: \(3+y+{R}_{2}\)
y tengo esto: \({f}_{xxx}={y}^{3}.{e^}^{xy}; {f}_{yyy}={x}^{3}.{e^}^{xy}; {f}_{xyx}=x{y}^{2}.{e^}^{xy};{f}_{yxy}=y{x}^{2}.{e^}^{xy}\)
y sé esto otro \({R}_{2}(x,y)\eq=\frac{1}{6}({f}_{xxx}(c){x}^{3}+3{f}_{xxy}(c){x}^{2}y+3{f}_{yyx}(c)x{y}^{2}+{f}_{yyy}(c){y}^{3})\)
Mi problema es principalmente que no sé como reemplazar los x e y. En principio me imaginé que tenía que reemplazar las \(c\) con la parte más grande de los intervalos y de esta manera se me anulaba casi todo. Pero seguro que es un invento mío nada más...ayuda!
Antes que nada:
El polinomio queda \(P=3+xy-y\), y no le tenes que sumar el resto.
El resto lo sumas en el enunciado del teorema de taylor que te dice:
\(f=P+R_2\) lo importante es que \(f \approx P\) cerca del punto, en este caso el origen
Zaphod escribió:
Mi problema es principalmente que no sé como reemplazar los x e y. En principio me imaginé que tenía que reemplazar las \(c\) con la parte más grande de los intervalos y de esta manera se me anulaba casi todo. Pero seguro que es un invento mío nada más...ayuda!
Esto no es muy dificil. El \(c\) es un \((\overline{x},\overline{y})\). Siendo \(\overline{x}\) un numero que vive entre \(0\) y el \(x\) en el cual evaluas el polinomio, lo mismo para \(\overline{y}.\)
Fijate que en general \(\overline{x}\) vive entre \(x_0\) y \(x\), siendo el \(x_0\) la coordenada \(x\) del punto en el cual esta centrado el polinomio, en este caso, \(x_0=0\), \(y_0=0\)
Lo bueno es que tanto \(x\) como \(y\) estan acotados, y como \((\overline{x},\overline{y})\) esta acotado por \((x,y)\) entonces \(\overline{x}\), \(\overline{y}\) tambien estan acotados por los mismos numeros. Si acotas el resto te queda: