Bueno gente, a ver si me pueden ayudar con este, que se me ocurren mil formas a medias de hacerlo pero ninguna concreta....
- Encontrar los puntos del cono z^2 = (y - 2)^2 + (x - 1)^2 más cercanos al origen de coordenadas.
Saludos!
Tema
[Parcial 27/03/08 - Pto. 2] Distancias
Estos ejercicios me dan pocas ganas de plantearlos... doy una idea, y fijate si te sirve. Cualquier cosa, avisá.
La distancia al origen de coordenadas de un punto viene dada por la función \(f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R},\;f(x,y,z)\eq=||(x,y,z)||\). En particular, es equivalente estudiar la función \({[f(x,y,z)]}^{2}\eq=g(x,y,z)\eq={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\). Luego, dado el cono que dijiste, tenés la superficie de nivel \(S\eq=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:{(x-1)}^{2}+{(y-2)}^{2}-{z}^{2}\eq=0\}\)
Luego, usás multiplicadores de Lagrange... quedándote:
$$\begin{cases} 2x\eq=\lambda2(x-1)\\2y\eq=\lambda 2(y-2)\\ 2z\eq=\lambda (-2z)\\ {(x-1)}^{2}+{(y-2)}^{2}-{z}^{2}\eq=0\end{cases}$$
De acá sacás los los lambda adecuados, o sea, los puntos críticos. Dos de ellos(van a tener que ser dos, a menos que esté viendo mal) van a ser puntos mínimos absolutos... ¿por qué? la justificación tiene que ver que la superficie de nivel, el cono, si bien no es acotada, resulta que si la acotás, podés ver que tenés un compacto, y luego, tiene máximos y mínimos absolutos. Fijate si con todas estas ideas sale.
Espero que el conjunto de sugerencias no sea de contenido nulo, y ayude. Cualquier cosa avisá. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Editado 1 vez.
Muchas gracias! Me tenia medio loco el tema de que el cono no es un compacto... Creo q de ahi provenía todo mi problema... Ahora voy a subir uno de impropias que me tiene en la misma...
Una pequeña "corrección". La distancia al origen es una función de \(\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}\). La acotación al cono la podés hacer con una bola que contenga a los puntos que te dio y justificando que si el radio es mayor, la distancia es mayor. Y cuidado con eso de "elevar al cuadrado porque es positivo, entonces es creciente" por dos cosas: 1) tenés que acordarte de justificarlo; 2) si te piden la distancia no vale reemplazar en la fórmula \(||(x,y,z)-P||^2\), es sin el cuadrado. Si me equivoqué, avisen.
La primera parte, se me escapó un \(3\). Ya lo cambié. La acotación no necesariamente la haces con una bola que contenga a los puntos. Por ejemplo, un cubo serviría, bajo la misma condición de contener los puntos. Incluso, cortando al cono con dos planos tales que contengan esos puntos que obtenes te serviría(siempre probando lo mismo). Con respecto a la distancia, la función que toma con el cuadrado naturalmente no mide la distancia, pero sirve para estudiar los puntos dados, que no cambian, justamente por ese argumento que indicaste. Y lo de acordarte de justificarlo... probablemente sea recomendable hacerlo, pero es algo ultra estándar. Por eso omití la demostración. Ya habiendo aclarado esto, gracias por la aclaración. Saludos.
Digamos que en este ejercicio yo quisiera encontrar los máximos, por lo que entendi de lo que escribieron más arribas, estos tienen que existir, por que se puede acotar el cono de manera que resulte compacto; como los encuentro?
Graciass
No, los máximos no tienen por qué existir(de hecho, no existen). El tema es así; si vos querés probar que una función alcanza extremos absolutos en todo un cierto dominio \(T\), si este resulta compacto y la función diferenciable, estudías los puntos críticos. Si no es compacto, pero pensás que tiene algún extremo absoluto, como en este caso, lo que hacés es "acotar" la región, y ver que por cada región acotada(que tiene el punto/los puntos a candidato para alcanzar máximo o mínimo absoluto) ese/esos punto/puntos que pensás que la función alcanza su/s máximo/s o / mínimo/s sigue/n siendo máximo/s o mínimo/s.
En este ejercicio; hallaste dos puntos que pensás que son de distancia mínima. Imaginate el cono; si lo cortás con dos planos de manera que mantengas esos dos puntos, tenés el cono truncado. Si conseguís imaginar la situación, ves que los nuevos puntos críticos que pueden aparecerte en esta nueva región acotada y cerrada(por lo tanto compacta) de \(\mathbb{R}^{3}\) están sobre las secciones del cono(donde cortaste con los planos). Si probás que para cualquier forma de truncar el cono los puntos críticos nuevos no resultan ser mínimos absolutos de la región(usás que cada región es acotada y cerrada, luego compacta) entonces tenés que son mínimos absolutos como querés.
Lo que dije parece puro juego de palabras(y confuso); si te crees el dibujo que digo, probarlo tampoco resulta muy feo. Pensá en la desigualdad triangular. Cualquier cosa preguntá de nuevo.
Muchas gracias por contestarme; me parece que entendí lo que decis, pero la verdad que no se me ocurre como probar que los puntos que encontre son en efecto los minimos.
Me parece que se puede resolver mas facil:
Toman los puntos criticos donde \(Df=0, \ f=||(x,y,z)||^2\), despejas en funcion de \(z^2\), pero te fijas en la formula del cono y tenes q \(z^2=(y-2)^2+(x-1)^2\).
Listo!, transformamos f en una funcion de dos variables, calculas el diferencial de f y lo igualas a 0, te da \((x,y)=(\frac12,1)\) único punto crítico. Despues usas que
$$Hf(x,y) = \left( \begin{matrix}4 & 0 \ 0 & 4\end{matrix} \right) \geq 0 \ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$
luego \((\frac12,1)\) es minimo local (y absoluto tambien ya que es el unico punto critico que hay)
Ahi el gradiente de la función que esta dado por la superficie de nivel se anula en 1,2,0 que es un punto que pertenece a la superficie, entonces esta bien usar Multiplicadores?
Firma
Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...
Uno puede usar multiplicadores en los lugares donde no se anula el gradiente. Esos puntos se consideran como "puntos críticos" y se estudian por separado.
Se puede pasar a dos variables, pero hay que tener cuidado con el nuevo dominio en el que trabajás. Y creo que ahi falta un mínimo.
Gracias Exe, por esta respuesta y la del otro thread.
Tenés que analizar los puntos en donde el gradiente de la superficie de nivel se anula, aparte porque el teorema se cae ya que no se puede usar el teorema de la función implícita (o sea, el teorema de Lagrange pide el gradiente distinto de cero... )
Saludos
Firma
Me dio que la menor distancia es \(\frac{\sqrt{10}}{2}\)
y que tengo 2 minimos \(=(\frac{1}{4},1,\pm\frac{\sqrt{5}}{2})\)
Rapsodius escribió:
Me parece que se puede resolver mas facil:
Toman los puntos criticos donde \(Df=0, \ f=||(x,y,z)||^2\), despejas en funcion de \(z^2\), pero te fijas en la formula del cono y tenes q \(z^2=(y-2)^2+(x-1)^2\).
Listo!, transformamos f en una funcion de dos variables, calculas el diferencial de f y lo igualas a 0, te da \((x,y)=(\frac12,1)\) único punto crítico. Despues usas que$$Hf(x,y) = \left( \begin{matrix}4 & 0 \ 0 & 4\end{matrix} \right) \geq 0 \ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$luego \((\frac12,1)\) es minimo local (y absoluto tambien ya que es el unico punto critico que hay)
Esto está mal, no?
Como es un abierto, que tengas un único punto crítico no garantiza que sea absoluto, por algo que le puede pasar a la función en el infinito, o algo así. La verdad, no terminé mucho de entender la explicación de porque no es absoluto (si es único).