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[No Resuelto] {Rec. Parcial de anali. 24/07/04}

3 respuestas 5933 visitas 2008-11-27

#1 nadia 2008-11-27 02:56

Buenas....mi imaginacion es muy poca...asi q no tengo mucha idea de como se hace este ejercicio.. si alguien me da una pista o me tira una idea seria buenismo..desde ya muchas gracias....atte: yo

\textrm {Se tiene la curva C c \mathbb{R}}^{2}$,dada por la ecuacion \math{x}^{2}+{y}^{2}-2=0$.}Sean los puntos $\mathb P = (2 ,-4) Q =(4, -2)$. Hallar el punto {\large H} en la curva C tal que la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados del triangulo {\large PQH} sea la menor posible.}

#2 exequiel131719 2008-11-27 05:26

Este sale con multiplicadores de Lagrange... o, parametrizando adecuadamente. Opto, en este caso, por la primera.
Primero, notá que tenés ya determinado un segmento del triángulo, y es el dado por el segmento \(PQ\), cuya longitud se calcula \(||P-Q||\eq=||(2,-4)-(4,-2)||\eq=||(-2,2)||\eq=\sqrt{{(-2)}^{2}+{2}^{2}}\eq=\sqrt{8}\). Luego, sea un punto \(X\eq=(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\). Como queremos calcular la suma del cuadrado de los lados del triángulo que determinen \(PXQ\)(de determinar un triángulo), tenemos los lados \(PX\) y \(XQ\). Como \(P,Q\notin C\), la curva indicada, pensemos en un principio \(X\) no alineado con \(P,Q\). Luego, la longitud de los lados \(PX,XQ\) vienen dadas por:
\(||P-X||\eq=||(2,-4)-(x,y)||\eq=||(2-x,-4-y)||\eq=\sqrt{{(2-x)}^{2}+{(4+y)}^{2}}\)(saqué el menos afuera en el segundo término).
\(||Q-X||\eq=||(4,-2)-(x,y)||\eq=||(4-x,-2-y)||\eq=\sqrt{{(4-x)}^{2}+{(2+y)}^{2}}\)(ídem lo anterior)

Luego, tomando el cuadrado de cada distancia, y sumando todo, tenemos definida una función:

f(x,y)\eq=8+{(2-x)}^{2}+{(4+y)}^{2}+{(4-x)}^{2}+{(2+y)}^{2}

Ahora, restringiendo a \(C\) la curva indicada, que es \({C}^{1}\), aplicás multiplicadores de Lagrange... creo que esta parte ya sale más fácil, porque te queda el sistema(\(g(x,y)\eq={x}^{2}+{y}^{2}-2\)):

\nabla(f(x,y))\eq=\lambda \nabla(g(x,y))

{f}_{x}(x,y)\eq=-2(2-x)-2(4-x)\eq=\lambda \cdot 2x

{f}_{y}(x,y)\eq=2(4+y)+2(2+y)\eq=\lambda \cdot 2y

que es un sistema lineal no muy complicado. Fijate; cualquier cosa avisá Espero que la sugerencia haya servido. Si no querés usar multiplicadores de Lagrange, podés parametrizar la curva mencionada como \(\sigma(t)\eq=(\sqrt{2}\cos(t),\sqrt{2}\sin(t)),\;0\leq t<2\pi\), y después sustituir por \((x,y)\), y derivar la función en una variable que queda(la curva era una circunferencia centrada en el origen de radio \(\sqrt{2}\)). Este camino evita este sistema, pero requiere desarrollar los cuadrados... fijate lo que más te parezca práctico. Saludos

PD: a veces, un dibujo ayuda a guiarte más. Hace el dibujo, para que quede más claro esto.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#3 nadia 2008-11-28 18:30

gracias!!! despues subo la idea que me dieron los profes de la practica... gracias igualmente!!
....grax!

#4 ragatsi 2009-08-03 23:25

Pongo las cifras de hacer las cuentas (osea salteo los procedimientos)

y=\frac{6}{ \lambda-2}

x=\frac{-6}{ \lambda-2}

\((\frac{6}{ \lambda-2})^2+(\frac{-6}{ \lambda-2})^2=2\) \(\Rightarrow\)

\lambda=-4 \textrm { ó } \lambda=8

\(P_1=(-1,1)\) \(P_2=(1,-1)\)

\textrm{ Si uno hace el dibujo se da cuenta de que el punto que sirve es } P_2

Espero que este bien

PD: Exequiel, la verdad que te re portas con el foro muchas gracias