En este apunte, se describen las propiedades del hessiano, de los extremos de las funciones sobre conjuntos abiertos y cerrados. Nuevamente, \(D\) representa un conjunto abierto.
**DEFINICIÓN:**Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\;\overline{a}\in D\). Decimos que \(\overline{a}\) es un máximo relativo de \(f\) en \(D\) si existe \(B\eq={B}_{(\overline{a},r)}\subseteq D,r>0\) tal que \(\forall x\in B,\;f(x)\leq f(\overline{a})\). Si además \(f(x)<f(\overline{a}),\;x\neq \overline{a},\;\overline{a}\) se dice máximo relativo estricto. De manera análoga, se definen el mínimo relativo y el mínimo estricto. TEOREMA: Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\), diferenciable en \(\overline{a}\in D\). Si \(\overline{a}\) es extremo de \(f\), entonces \(\nabla f(\overline{a})\eq=\overline{0}\) DEFINICIÓN: Los puntos \(x\) que satisfacen \(\nabla f(x)\eq=\overline{0}\) se llaman puntos críticos de \(f\). Luego, una función diferenciable en \(D\), satisface que los posibles extremos de \(f\) en \(D\) son los puntos críticos de \(f\) en \(D\). DEFINICIÓN: Las funciones \(g:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R},\;g(x,y)\eq=a{x}^{2}+bxy+c{y}^{2}\), se llaman funciones cuadráticas. Satisfacen las propiedades siguientes:
-son continuas
-\(g(0,0)\eq=0\)
-\(\forall \lambda \in \mathbb{R},\;g(\lambda v)\eq={\lambda}^{2}g(v)\). Se deduce que sobre una recta, el signo de la función cuadrática no cambia. Definición: Decimos que \(g\) es definida positiva, si \(g(x,y)>0\forall (x,y)\neq (0,0)\). De manera análoga, decimos que es definida negativa si \(g(x,y)<0\forall (x,y)\neq (0,0)\). Si existen \(v,w\in \mathbb{R}^{2}\) tales que \(g(v)>0,\;g(w)<0\), se dice que \(g\) es indefinida. Lema : Si \(g\) es definida positiva, entonces existe \(\alpha>0\) que satisface \(g(h)\geq \alpha {||h||}^{2},\;\forall h\in\mathbb{R}^{2}\). De manera similar, si \(g\) es definida negativa, entonces existe \(\beta>0\) que satisface \(g(h)\leq -\beta {||h||}^{2},\;\forall h\in\mathbb{R}^{2}\) Lema: Si \(g\eq=a{x}^{2}+bxy+c{y}^{2}\) y:
$$\Delta \eq=\begin{vmatrix}a & b \\ b & d\end{vmatrix}\eq=ad-{b}^{2}$$
. Entonces:
-\(\Delta>0,\;a>0\). Luego, \(g\) es definida positiva.
-\(\Delta>0,\;a<0\). Luego, \(g\) es definida negativa.
-\(\Delta<0\). Luego, \(g\) es indefinida
**TEOREMA:** Sea \(f:D\subseteq \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R},\;f\in {C}^{3}(D),\;x\in D\), un punto crítico de \(f\) en \(D\). Sea \({H}_{f}(x)\) el hessiano de \(f\) en \(x\). Se verifica:
-\({H}_{f}(x)\) es definido positivo, entonces \(x\) es un mínimo relativo estricto
-\({H}_{f}(x)\) es definido negativo, entonces \(x\) es un máximo relativo extricto
-\({H}_{f}(x)\) es indefinido, entonces \(x\) no es un extremo y se llama ***punta silla o de ensilladura***.
**Teorema:** sea \(f\in {C}^{3}(U),\; U\) un entorno de \(\overline{a}\) y \(\overline{a}\) punto crítico de \(f\). Luego, sea:
.
-Si \(\Delta >0,\;{f}_{xx}(\overline{a})>0,\;\overline{a}\) es un mínimo relativo estricto.
-Si \(\Delta >0,\;{f}_{xx}(\overline{a})<0,\;\overline{a}\) es un máximo relativo estricto.
-Si \(\Delta <0,\;\overline{a}\) es un punto de ensilladura
**Lema:** Sea \(f\eq={\Phi}_{0}g,\;g:D\subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\;\Phi:I\subseteq \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) estrictamente creciente. Luego, \(P\) es extremo de \(f\Leftrightarrow P\) es extremo de \(g\). Si \(\Phi\) es estricatmente decreciente, vale el \(\Leftrightarrow\), pero cambian los máximos por los mínimos y los mínimos por los máximos(es decir, un máximo de \(f\) es un mínimo de \(g\), y un mínimo de \(f\) es un máximo de \(g\)))
**MULTIPLICADORES DE LAGRANGE:** Sea \(f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\;{C}^{1}\), y sea \({S}_{a}\eq=\{X\in \mathbb{R}^{n}:g(X)\eq=a\},\;g\) una función \(\mathcal{C}^{1}\). Notamos \(f{|}_{{S}_{a}}\) a la restricción de \(f\) a \({S}_{a}\). Sea \(P\in {S}_{a},\;\nabla g(P)\neq \overline{0}\). Si \(P\) es extremo de \(f{|}_{{S}_{a}}\), entonces existe \(\lambda \in\mathbb{R}:\nabla f(P)\eq=\lambda \cdot \nabla g(P)\).
En caso de tener \(n\) restricciones, y \(P\) extremo de \(f\) sujeto a tales restricciones, siendo \({S}_{i}\eq=\{X\in \mathbb{R}^{n}:{g}_{i}(X)\eq={a}_{i}\},\;{g}_{i}\in {C}^{1},\;\nabla {g}_{i}(P)\neq \overline{0}\), existen \({\lambda}_{i}\in\mathbb{R},\;1\leq i\leq n\) tales que:
\(\nabla f(P)\eq=\sum_{k\eq=1}^{n}{\lambda}_{k}\cdot \nabla {g}_{k}(P)\).
Esta forma de calcular extremos de funciones con restricciones se conoce como el ***método de los multiplicadores de Lagrange*** . Los puntos que se obtienen de este método suelen llamarse ***puntos críticos ***.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Perdón si hay errores en las expresiones de LaTex. Por alguna razón mi PC no visualiza como quedan las expresiones a esta hora. Mañana tan pronto como pueda arreglo los errores. Hasta entonces, discúlpenme.
Edit: ya está. Ya arreglé lo que tenía mal en LaTex
No; porque un mínimo es tal que no hay imagen mayor alrededor de cierta bola. Luego, si lo trato de extender a \(D\), elimino la idea de mínimo en en \(D\). Es decir, la propiedad de máximo y mínimo es local, no necesariamenmte global. Espero haber sido claro
aah, creo que me confundi estricto con absoluto.
entonces, estricto seria (dicho muy coloquialmente) que "esta solito" ? que no es digamos parte de una recta o una curva de minimos/maximos?
Fijate que el gradiente sea no nulo los usás en la demostración para poder usar el teorema de la función implícita y concluir la relación entre gradientes que usás. Si es nulo, no podés llegar a lo mismo. En resumen... mientras todas las hipótesis estén en orden, los puntos de la superficie donde se anula el gradiente los estudiás por separado.
Por cierto, acabo de ver, y debería ir \(\mathcal{C}^{1}\) en vez de diferenciable para \(g\). No es suficiente para el teo de implícita, sino. Como comentario adicional, vale un resultado un poco más general del método de multpilicadores de Lagrange(para varias superficies al mismo tiempo). No me pareció necesario, pero si les parece útil, pónganlo o lo agrego.
Saludos.
El \((0, 0)\) es el unico punto critico. Y tenes que \(\det (H_f(0,0)) = - 4 < 0\). Entonces el teorema te dice que es un punto silla. Si el Hessiano es negativo en ese punto, no importa el resto.
Disclaimer: estudie el desarrollo de ese teorema muy por encima, solo se aplicar la "receta". Estaria bueno que alguien que sepa la demostracion confirme lo que dije.
Ahi cambié lo que decías de \(\overline{a}\). Es decir, había dos ''\(a\)'' que eran lo mismo. La raya arriba la usé para notar que era un vector, aunque realmente es algo inútil esa notación(en un principio quería evitar justamente confusión)
Es como decís fedor: si el determinante del hessiano es negativo es un punto silla . Puse unas propiedades arriba del criterio del Hessiano que se usan justamente para probar al criterio.
