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[No Resuelto]- {Curso de Verano 2002}-{Ej.5}{Rec.2doParc}

6 respuestas 9080 visitas 2008-07-12

#1 Mar 2008-07-12 20:41

Hallar el polinomio de Taylor de f(x,y)= \(e^{x+y}\) alrededor del (0,0). Usar el polinomio para aproximar \(e^{0.2}\) y comprobar que el error cometido es menor que 0.002.

cambie q creo q habias puesto mal el \(e^(x+y)\) con parentesis.. y se escribe con llaves
\(e^{x+y}\)

#2 Mar 2008-07-12 21:27

Gracias Clouds, es asì como lo pusiste, no me daba cuenta que era con llaves

#3 Cloud 2008-07-13 00:18

el polinomio de taylor no dice de q grado??

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#4 Mar 2008-07-13 02:53

Es verdad, en el texto no dice, y està agregado, es de grado 2

#5 Yossarian 2008-07-13 03:47

De cualquier forma, pueden calcular el desarrollo de Taylor, no se olviden que la exponencial es una función analítica. Por cierto, en lugar de calcular de derivadas, pueden agarrar la función \(u(x,y) = x+y\), escribir el desarrollo de taylor de \(e^u\) y reemplazar. Hay que justificar un poco, pero se ahorran de calcular veinticinco derivadas...

#6 exequiel131719 2008-12-11 02:12

Como quiero comprobar que el error cometido es menor que \(0,002\), quiero ver que \(|{R}_{2}((x,y))|<0,002\). O sea, voy a acotar el resto. Luego, calculemos ese resto:

{R}_{2}((x,y))\eq=\frac{1}{6}({f}_{xxx}(c){x}^{3}+3{f}_{xxy}(c){x}^{2}y+3{f}_{yyx}(c)x{y}^{2}+{f}_{yyy}(c){y}^{3})

Como la función es \({e}^{x+y}\) todas las derivadas son iguales, nos queda, tomando \(c\eq=({c}_{1},{c}_{2}),\;d\eq={c}_{1}+{c}_{2}\):

{R}_{2}(x,y)\eq=\frac{1}{6}({e}^{d}{x}^{3}+3{e}^{d}{x}^{2}y+3{e}^{d}x{y}^{2}+{e}^{d}{y}^{3})

Saco factor común:

{R}_{2}(x,y)\eq=\frac{1}{6}{e}^{d}({x}^{3}+3{x}^{2}y+3x{y}^{2}+{y}^{3})

Quiero acotar \(|{R}_{2}(x,y)|\). Como quiero aproximar \({e}^{0,2}\), vaamos a hacerlo con el \((0,1;0,1)\), con lo que sabemos además que \(0<{c}_{1},{c}_{2}<0,1\) de donde resultará que \(d\), el punto intermedio, será a lo sumo \(0,2\). O sea, \(d<0,2\). . Sigamos, ahora:

|{R}_{2}(0,1;0,1)|\eq=|\frac{1}{6}{e}^{d}{0,1}^{3}+3{0,1}^{3}+3{0,1}^{3}+{0,1}^{3}|\eq=\frac{1}{6}{e}^{d}\cdot 8\cdot {0,1}^{3}

|{R}_{2}(0,1;0,1)|\eq=\frac{1}{6}{e}^{d} 8\cdot {10}^{-3}<\frac{1}{6}{e}^{0,2} 8\cdot {10}^{-3}<\frac{1}{6}{3}^{0,2}\cdot 8\cdot {10}^{-3}\eq={3}^{-0.8}\cdot 4\cdot 0,001

Bueno, ahora tienen que acotar eso que quedan. Si hacen trampa, y hacen esa cuenta con la calculadora, les da aproximadamente \(0,0016\). Sino, la cota que falta es fácil... si no sale, avisen, aunque a esta altura, creo que debería salir. De ahi sale que es menor que \(0,002\) el error, como queríamos ver. Espero haber ayudado. Saludos.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#7 fedor 2009-08-11 16:57

Siguen tomando este tipo de problemas en el segundo parcial? Tengo que memorizarme todo ese choclo de la funcion "resto"?

EDIT: acabo de ver la formula expresada como diferenciales y productos escalares, y no es tan terrible asi. Queda:

f(X) = f(P) + \left< \bigtriangledown f_P, X - P \right> + \frac{1}{2} \left<Hf_P \cdot (X-P), X - P \right> + R_P(X-P)

R_P(X - P) = \frac{1}{6} \left< D^3f_C(X-P) \cdot (X-P), X - P \right>

Estaria bueno que lo pongan escrito de esta forma en el apunte de "Nociones de Diferenciabilidad".