[No Resuelto] 3/7/08 - Tema 3 - Ej. 3 - 1º Parcial

algun alma caritativa que me ayude.
Para \(a \in \mathbb{R}\), sea \(f:\mathbb{R}}^{2}\rightarrow\mathbb{R}\) la funcion definida por:

a) Probar que para todo \(a\in \mathbb{R}, (0,0)\) es un punto critico de \(f\)
b) Para cada \(a\in\mathbb{R}\), decidir si \((0,0)\) es un maximo local, un minimo local o un punto silla.

Mis conocimientos de analisis estan un poco oxidados pero creo que es así:
calculas

evaluas en 0 y te da 0 sin importar a. Entonces ya tenes el item a) Para saber que tipo de extremo es tenes que mirar la matriz de las derivadas segundas (el Hessiano ¿?) Evaluando en 0 te queda una matriz tenes que ver si es definida positiva o negativa o indefinida No me acuerdo como lo hacen en analisis 1 pero yo lo se hacer con algebra lineal. Calculemosle los autovalores: No me sale en el aire pero si dan los dos + es def + si dan los 2 - es def - y si da 1+ y 1- es indefinida Gracias por las correcciones

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Quimey

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Hola, èste me tocò a mì en el parcial, y pensè que estaba bien, y CASI estaba bien, pero no, asì que puedo decirte exactamente, con correcciòn y todo còmo es.
Va bien como escribiò Quimey, pero cuidado cuando planteas el det del Hf, en fxy, y fyx falta un parèntesis, y entonces no salen las cuentas, te mando mi respuesta, a ver si se entiende:

si\(4a^2 -4<0, (0,0)\) es pto. silla
luego, (0,0)es pto silla si \(a\in(-1,1)\)

si\(4a^2-4>0 y 4a>0,\) (0,0) es minimo local
luego, (0,0) es minimo local si \(a \in(1,\infty)\)

si \(4a^2-4>0 y 4a<0,\) (0,0) es maximo local
luego, (0,0) es max. local si \(a\in(-\infty,-1)\)

si a=1, \(f(x,y)=2x^2-2y^4\)
f(0,0)=0, miro \(f(x,x)=2x^2(1-x^2)\), que es siempre >0 en un entorno del 0
miro \(f(0,y)=-2y^4, <0,\)
luego, (0,0) es pto. silla si a=1

si a=-1, \(f(x,y)= -2x^2-4xy-2y^2-2y^4 = -2(x+y)^2-2y^4 <=0\)
luego, (0,0) es màximo absoluto de f.

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GRACIAS 😄

Noooooooooo =(
para averiguar que pasaba en el caso a= -1, me mande un analisis enorme que me ocupo como una hoja (y encima estaba mal) y era re facil como lo pusiste ahi !
porq no me doy cuenta de esas cosas basicas? =(

si a=1, \(f(x,y)=2x^2-2y^4\)
f(0,0)=0, miro \(f(x,x)=2x^2(1-x^2)\), que es siempre <0 en un entorno del 0
miro \(f(0,y)=-2y^4, <0,\)
luego, (0,0) es pto. silla si a=1

en ese caso \(f(x;x)=2x^2(1-x^2)\) no es \(>0\)en un entorno al 0????
fijate q pusiste el signo al revez me parece porq dp decis q es un punto silla cosa q esta bien

Saludos

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Es verdad, quise poner >0, ahora lo edito arriba, para que no traiga confusiòn, gracias

una consultita: si yo tengo
\(f(x,y)={x}^{2} + 2xy + {y}^{2}\) y digo que es igual a \((x+y){}^{2}\)
y si el punto critico es \((0,0)\) y como \((x+y){}^{2}\geq 0\) para todo \((x,y)\)
entonces (0,0) es un minimo absoluto no???
plisss que sea así

Necesariamente si; pero mirá que en ese caso no es necesario hacer un estudio tan complicado; si tenés \({(x+y)}^{2}\), puesto que x+y crece o decrece tanto como se quiera, y como \({(x+y)}^{2}\geq0\), concluís que es un mínimo absoluto. Pero en ese caso, tenés infinitos mínimos absolutos; son los que se alcanzan en los puntos de la forma \(y\eq=-x\), es dedir, los que se hallan sobre esta recta. Luego, no es estricto este mínimo absoluto.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Si, gracia a Dios, ese era (y=-x) un punto critico en el recu.