Bueno, vemos que esta integral tiene problemas en dos partes: 0 y \(+\infty\). Como resulta cómodo, la vamos a partir por 1, quedando...
\(\int_{0}^{+\infty} \frac{|\sin^3(2x)|}{\sqrt{3x^7 + x^8}} dx = \int_{0}^{1} \frac{|\sin^3(2x)|}{\sqrt{3x^7 + x^8}} dx + \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin^3(2x)|}{\sqrt{3x^7 + x^8}} dx\) si existen.
Primero estudiemos la primera. Para que no sea un completo galerazo, veamos por que vamos a comparar por lo que estamos comparando.
Vemos que son integrales siempre positivas y continuas en todo subconjunto cerrado de \((0, +\infty)\).
Sabemos que \(\sin(x) \le x\ \forall\ x\ \ge\ 0\). Entonces \(\sin^3(2x) = \sin(2x)\sin(2x)\sin(2x) \le (2x)^3\ \forall\ x \ge 0\).
En la parte de abajo, podemos sacar \(x^7\) de factor común, y lo podemos sacar como \(x^{\frac{7}{2}}\) de la raiz.
Además, entre 0 y 1 el seno es positivo, así que podemos sacar las molestas barras de módulo.
Bueno, con esto y lo de arriba, podemos acotar la integral por
Bueno, la parte de la derecha del denominador vemos que no jode, porque se va a \(\sqrt{3}\), un número inofensivo y calmo. El 8 en el numerador también es bastante amigable. La parte "importante" de esta integral es el \(\frac{1}{\sqrt{x}}\). Pero sabemos que las integrales de las cosas de la forma \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) del 0 al 1 convergen (es una serie p, también podés calcularle la integral a pata y ver que sale).
Pero esto es todo intuitivo, lo que podemos hacer para afirmar bien esto es usar el criterio de comparación. Este nos dice que si \(\frac{f(x)}{g(x)}\) va a un número real no nulo cuando x tiende al lugar del problema, entonces la integral de f converge si y solo si la integral de g converge.
Entonces, sabiendo que nuestra integral de g(x) converge, nuestra integral de f(x) también converge.
Como la integral de esta función es mayor o igual a la original, la original también converge, porque está acotada superiormente por una convergente. Con esto probamos la parte de la izquierda.
Ahora a la derecha, \(\int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin^3(2x)|}{\sqrt{3x^7 + x^8}} dx\).
Esta vez, queremos acotar el seno por algo pequeño, para que la parte de abajo "domine" y converja rápidamente a 0, por lo menos mas rápido que \(\frac{1}{x}\), que diverge. Entonces, sabemos que \(\sin(x) \le 1\ \forall\ x \in \mathbb{R}\). Con esto ya está - podemos comparar con las series p tán conocidas, sabiendo que \(\int_{1}^{+\infty} x^p dx\textrm{ converge } \iff p < -1\).
Comparemos con una serie p copada, como ser...\(\frac{1}{x^4}\). Elijo esto y no una potencia menor, para que me quede abajo algo inofensivo (que tienda a algo que no moleste).
Entonces, igual que antes:
Y como sabemos que \(\frac{1}{x^4}\) converge de 1 a \(\infty\), entonces la integral con la que comparamos a la original converge, y como esta integral es mas grande que la original, entonces la original también converge por acotada por convergente.
Finalmente, la integral del problema converge porque ambas mitadas convergen.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
