Me suena a que voy a tener que dividir en dos secciones, y comparar con algo que diverja en una (sinó en las dos).
La verdad llegué a muy poco, solo sé que el polinomio es igual a \((x-2)(x^2-ax) = (x-2)(x-0)(x-a)\) para todo a. Entonces, la onda es porai dividirlo de 1 a 2, y de 2 a 3, para ver tranquilo el cambio de signo. Pero cuando intento analizar cada mitad por separado, cada una me converge...
También intenté hacer que diverja en los extremos, planteando x = 1 o x = 3 (y queda a = 1 y a = 3, respectivamente), pero me quedan cosas de la forma
\(\frac{1}{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2-2x}}\), que cuando van a 1 (por ejemplo) se comporta parecido a \(\sim \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\), que converge...bah, aunque eso era cuando x tendía a infinito así que es probable que sea fruta...
No me puse a resolver la integral porque
Es horrible
Mathematica dice que no tiene primitiva copada
Tips? Sustituciones salvadoras? Quizás alguna magia con series?
Gracias 🙂
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Me gustaría que diverja y se que las funciones del estilo
$$\frac{1}{x^p}$$
Lo hacen. Entonces con a=-2, queda un \({x}^{\frac{3}{2}}\) en el denominador es de esperarse que diverja.
Entonces, con a = -2
\(\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x^3 -4x|}}\, dx\) = \(\lim_{x \rightarrow 2-} \int_{1}^{a} \frac{1}{\sqrt{|x^3 -4x|}}\, dx + \lim_{x \rightarrow 2+} \int_{a}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x^3 -4x|}}\, dx\)
Voy a comparar esta función con \(g=\frac{1}{\sqrt{|x|}}\)
Entonces, como el límite es infinito y yo tenía \(\frac{f}{g}\) y \(\lim_{x \rightarrow 2-} g=\lim_{x \rightarrow 2-}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} < \infty\), debe ser que el numerador tiende a infinito. Y si sucede eso, la integral debe diverger.
Bueno, a ver si sale, se me ocurrió esto:
Me gustaría que diverja y se que las funciones del estilo
$$\frac{1}{x^p}$$
Lo hacen. Entonces con a=-2, queda algo parecido a (ya se que no exactamente, pero intuitivamente va) \({x}^{\frac{3}{2}}\) en el denominador es de esperarse que diverja.
Entonces, con a = -2
\(\int_{1}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x^3 -4x|}}\, dx\) = \(\lim_{x \rightarrow 2-} \int_{1}^{a} \frac{1}{\sqrt{|x^3 -4x|}}\, dx + \lim_{x \rightarrow 2+} \int_{a}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x^3 -4x|}}\, dx\)
Voy a comparar esta función con \(g=\frac{1}{\sqrt{|x|}}\)
Entonces, como el límite es infinito y yo tenía \(\frac{f}{g}\) y \(\lim_{x \rightarrow 2-} g=\lim_{x \rightarrow 2-}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} < \infty\), debe ser que el numerador tiende a infinito. Y si sucede eso, la integral de f (la que teníamos que demostrar) debe diverger.
yo lo pense de otra forma, y tome a = 2 y creoo que me dio que diverge...
si alguien puede chequear y ver si esta bien o mal se lo agradeceria..
Primero parti la integral en donde estaba el problema, osea en 2...y me quedo la suma de 2 integrales, una de 1 a 2 y la otra de 2 a 3...de ahora en mas, me voy a centrar solo en la integral de 2 a 3...con a = 2, la integral queda: \(\int_{2}^{3} \frac{1}{(x-2) \cdot \sqrt[2]{x}} dx\)
Hago el cambio de variable\(u = x - 2\), y me queda la siguiente integral: \(\int_{0}^{1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\sqrt[2]{u+2}} du\)...comparandola via criterio del limite (aca tengo una duda, si es correcto usar este criterio con estos limites de integracion) con \(\frac{1}{u}\), el limite me da una constante, y como \(\int_{0}^{1} \frac{1}{u} du\) diverge (ya que \(p \geq 1\)) entonces \(\int_{0}^{1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\sqrt[2]{u+2}} du\) diverge tambien..
Mi mayor duda que tengo es que...yo verifique que \(\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{|x^3 - (a+2)x^2 + 2ax|}}\, dx\) diverge con a = 2...pero nunca verifique nada de la otra integral que me queda al partir el limite de integracion, osea esta --> \(\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{|x^3 - (a+2)x^2 + 2ax|}}\, dx\), porque supuse que, como es 1 suma de 2 integrales, si una de ellas diverge, la suma va a tener que diverger independientemente de lo que pase con la otra...es correcto esto? o es fruta? XD...
Si toman \(a=0\) les queda abajo el polinomio \(x^3-2x^2\) que tiene raíz doble \(2\). Después comparan con limite del cociente con \(\frac{1}{x-2}\) que diverge de \(1\) a \(2\), y se les va a simplificar el \((x-2)\) y les da un numero real, por lo tanto también diverge y \(a=0\) sirve
che me parece que te equivocaste si tomas \(a=0\) te queda una raiz simple en \(2\) y cuando le apliques la raiz cuadrada te va a quedar convergente... la onda del ejercicio viene por otro lado me parece. en el denominador saca factor común \(x\) y te queda una cuadrática. ahora pedí que el discriminante sea igual a cero así la cuadrática tiene una raiz doble y de esta forma cuando le apliques la raíz cuadrada y la integres se va a parecer mucho a un logaritmo que diverge. a mí el único valor que me da es \(a=2\)
