[No Resuelto] Rec. 2do Parcial (06/08/09) Ej. 3

Analizar convergencia de: \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{(x^{2}-x-2)^{2}}}dx\)

Analizar la parte a mas infinito es facil, la comparas via limite con \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}} dx\) q cv y listo, pero la otra parte de la integral al partirla en el 2 que es donde tiene problemas, intente un toco de formas y no me salio...

Espero que alguien me pueda tirar una idea o como se hace ^^

gracias! saludos!..

\(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{(x^{2}-x-2)^{2}}}dx\)
La partimos en:

notamos que: \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\) Primero vemos la primera integral:\(\int_{0}^{2}\frac{1}{(x-2)^{\frac{2}{3}}(x+1)^{\frac{2}{3}} }dx\) Como \((x+1)^{- \frac{2}{3}}\) es continua en \([0,2]\), alcanza maximo el cual es \(1\), luego nos queda: \(\int_{0}^{2}\frac{1}{(x-2)^{\frac{2}{3}}(x+1)^{\frac{2}{3}} }dx \leq \int_{0}^{2}\frac{1}{(x-2)^{\frac{2}{3}}}dx= \lim_{a \to 2} 3\sqrt[3]{x-2}|_{0}^{a}= 3\sqrt[3]{2}\) por lo tanto converge.

Despues, la segunda integral:

Como \((1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}})^{-\frac{2}{3}}\) es continua en \([0,\infty)\) lo reemplazamos por su maximo valor, \(1\). Luego:

\(\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}})^{\frac{2}{3}}}dx \leq \int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}dx= \lim_{a \to \infty} -3 x^{-\frac{1}{3}}|_{2}^{a}=\frac{3}{\sqrt[3]{2}}\), es decir, converge, luego la integral original converge.

aaaaa, como no me di cuentaaaa, muchas gracias! =D...