Tema
Espero que me den una manito!
Demostrar que todo número natural n se expresa unívocamente en la forma:
donde \(a,b \in N\) y \(b\) es libre de cuadrados.
ACLARACION: Un entero se dice libre de cuadrados si 1 es el único cuadrado perfecto que lo divide.
Bueno, pongo lo que se me ocurrió:
Sea \(m\) la cantidad de primos positivos que dividen a \(n\).
Por el Teorema Fundamental del Álgebra \(\exists ! p_i\), \(\alpha_i \in \mathbb{N}\) con \(1 \leq i \leq m\) y \(p_i\) primo, tales que \(\forall 1 \leq j \leq m\), \(i \not = j \Leftrightarrow p_i \not = p_j\) tales que \(n = \prod_{i = 1}^{m} {p_i}^{\alpha_i}\). Llamaremos a esta proposición \((\star)\).
Por el algoritmo de división \(\exists ! q_i, r_i \in \mathbb{Z}\) con \(0 \leq r_i < 2\) tales que \(\alpha_i = 2q_i + r_i\) \(\forall 1 \leq i \leq m\). Llamaremos a esta proposición \((\circ)\).
Luego \(n = \prod_{i=1}^m {p_i}^{2q_i + r_i} = \prod_{i=1}^m {p_i}^{2q_i} \cdot {p_i}^{r_i} = (\prod_{i=1}^m {p_i}^{q_i})^{2} \cdot \prod_{i=1}^m {p_i}^{r_i}\)
Ahora tomando \(a = \prod_{i=1}^m {p_i}^{q_i}\), y \(b = \prod_{i=1}^m {p_i}^{r_i}\), tenemos que: \(n = {a}^{2} b\).
Como en \(b = \prod_{i=1}^m {p_i}^{r_i}\) ningún primo aparece con exponente mayor o igual a \(2\), puesto que \(\forall 1 \leq i \leq m\), \(0 \leq r_i < 2\), ningún cuadrado perfecto (excepto el 1) divide a \(b\), por lo que \(b\) entonces es libre de cuadrados.
Finalmente \(\exists ! a, b \in \mathbb{N}\) pues como \(a\) y \(b\) se expresan como producto de primos elegidos unívicamente (por \((\star)\)) elevado a exponentes también elegidos unívocamente (por \((\star)\) y \((\circ)\)), entonces existe una sola forma de elegir \(a\) y \(b\) tal que \(n = a^2 b\) \(\forall n \in \mathbb{N}\), que es lo que queríamos demostrar.
Espero haber sido de ayuda!
Saludos!
[Resuelto] Ejercicio. Acá estaba resuelto... pasa que en ese entonces no existía el foro de finales...
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Si muchas gracias, lo acabo de ver! Como no vi la fecha lo postie de una! Bueno por lo menos ahora hay dos soluciones!
GRACIAS!!
Claro que boludo no lo había visto al principio Tenía una duda con respecto a ese tema
acá está la duda si alguno me puede ayudar desde ya muchas gracias
[No resuelto] Práctica 6- ejercicio 13. 1ºC 2008