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Hola gente! Ando con problemas en complejos, aca les dejo uno de los tantos q no me salen! jaja
Sea \(z \in G_{11} , z \neq 1\). Hallar todo los \(n \in N\) tales que \(z^{2^{n}}=\overline{z}^5\)
Muchas gracias! Lo edite porque hice cualquiera!! jaja
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Hice un poco quizas ayude, saludos.
No cambia mucho con el 5. Bah!, al menos en la forma en la que lo pensé yo qeu no sé si está bien saludos.
Como \(z\in{G}_{11}\) entonces \(z\neq0\) y \(|z|=1\)
Si \(|z|=1\) entonces \(\overline{z}={z}^{-1}\)
entonces \({\overline{z}}^{5}={z}^{-5}\)
Entonces \({z}^{{2}^{n}}={z}^{-5}\)
o \({z}^{{n}^{2}}={z}^{-5}\)
Después \({z}^{{2}^{n}+5}=1\)
o \({z}^{{n}^{2}+5}=1\)
Luego si \(z\in {G}_{11}\) entonces \(z\in {G}_{{2}^{n}+5}\) o
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Cristian te pido disculpas, lo edite un par de veces porq me habia comido el 5 elevado en el z conjugado!
No se si cambiara mucho al ejercicio.. al parecer si
Disculpas nuevamente!
Bueno, pongo lo que pensé a ver que les parece:
Como 11 es primo, sé que todas las raíces de orden 11 de la unidad excepto \(1\) son raíces primitivas.
Luego \(z\) es una raíz primitiva de orden 11 de la unidad.
\(z^{2^{n}} = \overline{z}^{5} = \overline{z^5} =\) (por \(|z| = 1\)) \(z^{-5}\) \(\Leftrightarrow z^{2^{n}}={z}^{-5} \Leftrightarrow z^{2^{n}+5} = 1\)
Por ser \(z\) raíz primitiva de orden 11 de la unidad, \(z^{2^{n}+5} = 1 \Leftrightarrow 11 | 2^{n} + 5 \Leftrightarrow 2^n \equiv 6 (11)\).
Tomo \(n = 10s + t\) con únicos \(s, t \in \mathbb{Z}\) tales que \(0 \leq t < 10\) (por el algoritmo de división) y obtengo que:
\(2^{10s + t} \equiv 6 (11) \Leftrightarrow {(2^{10})}^s 2^t \equiv 6 (11) \Leftrightarrow\) (Fermat) \(2^t \equiv 6 (11)\)
Como \(0 \leq t < 10\), los posibles valores de \(2^t\) son: \(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256\) y \(512\). Y como \(512 = 2^9\) es el único valor tal que de \(2^t : 2^t \equiv 6 (11)\) y \(0 \leq t < 10\), entonces \(t = 9\).
Finalmente \(n = 10s + 9\) con \(s \in \mathbb{Z}\), y como quiero los \(n \in \mathbb{N}\) y siempre utilicé doble implicaciones, puedo decir que para que n sea solución \(\Leftrightarrow n \in \{ 10s + 9 : s \in \mathbb{N} \}\), que es lo que buscabamos.
Espero haber ayudado! Y cualquier cosa avisen!
Saludos!
Última edición: saqué una demostración que no hacía falta por estar en la práctica.
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axelbrz escribió:
Por ser raíz primitiva de orden 11 de la unidad, sé también que tal que . Entonces 11 es el menor tal que .
Tengo una duda Axel creo qeu no dice en ningún lado qeu z es raíz primitiva de orden 11 sino que es raíz. Bah!, no entiendo por que supones que es primitiva.
Para \({G}_{p}\), con \(p\) primo, resulta particularmente que si \(z\in {G}_{p},\;z\neq 1\), recordando que \(z\in {G}_{p}\iff z\eq=\cos(\frac{2\pi k}{p})+i\sin(\frac{2\pi k}{p}),\; 0\leq k\leq 10\), particularmente era primitiva si \((k:p)\eq=1\), tenés que todas las raíces son primitivas, salvo el \(1\). Como \(11\) es primo, el hecho que \(z\neq 0 \land z\in {G}_{11}\) implica que es primitiva.
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Christian escribió:
Tengo una duda Axel creo qeu no dice en ningún lado qeu z es raíz primitiva de orden 11 sino que es raíz. Bah!, no entiendo por que supones que es primitiva.
Jaja, bueno, recién posteé la justificación pero la saqué porque exequiel131719 escribió exactamente lo mismo, jaja.. excepto por \(z \not = 1\) en vez de \(z \not = 0\) al final 😛
Bueno, el caso es que por la propiedad que mencionó exequiel131719, fijate que yo escribí al principio:
axelbrz escribió:
Como 11 es primo, sé que todas las raíces de orden 11 de la unidad excepto 1 son raíces primitivas.
Luego \(z\) es una raíz primitiva de orden 11 de la unidad.
No me explayé más porque usé esa proposición como recordatorio, pero no hubiese estado mal que escriba el por qué pasa eso con los primos, gracias por el comentario.
Saludos!