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Hola! Me gustaria ver si me podian dar una mano con esto; dice:
Sea \(f \in C [x]\) un polinomio de grado \(n \geqslant 2\). Probar que si \(f '\) divide a \(f\) entonces existen \(\alpha,\beta \in C\) tales que \(f(x) = \alpha(x-\beta)^n\)
Muchas gracias!
Una idea sería(considero \(f\) de grado \(n\)):
\((f':f)\eq=\frac{f}{cof(f)}\), donde \(cof(f)\) es el coeficiente principal de \(f\). Esto es así, pues el máximo común divisor es mónico y \(f'|f\). Pero todas las raíces de \(f'\), ahora, son múltiples, con lo que tienen multiplicidad mayor que 1. Luego, como \(f\) tenía grado \(n\), resulta que \(gr(f')\eq=n-1\). Fijate que, si todas las raíces de \(f'\) fueran distintas, tendrías \(n-1\) raíces con multiplicidad mayor o igual que \(2\), para un polinomio \(f\) de grado \(n\), lo que claramente sería absurdo, porque la suma del número de raíces contadas con multiplicidad es exactamente \(n\) en \(\mathbb{C}\). De ahi que una de las raíces tenga multiplicidad mayor o igual que 2 en \(f'\). Sea \(\beta\) tal raíz. Fijate que ahora, mediante un ''argumento inductivo'', podés probar que para cada polinomio derivado \({f}^{i}\), si \({\beta}_{i}\) es raíz, también es raíz de \({f}^{i+1}\), y más aún, \({f}^{i+1}\) tiene una raíz doble, \({\beta}_{i+1}\). Con esto, cuando llegués a \({f}^{n+1}\), que es un polinomio de grado 1, vas a poder concluir fácilmente que \({\beta}_{i}\) elegidos eran todos iguales, teniendo que \({\beta}\) es raíz de \(f,f',f'',\cdots {f}^{n-1}\).
Una vez demostrado que \(\beta\) es raíz de \({f}^{n-1}\), tenés que (criterio del polinomio derivado) \(\beta\) es raíz de \(f\) con multiplicidad \(n\), o sea, que \({(X-\beta)}^{n}|f\). Pero \(gr(f)\eq=n\), siguiendo que \(f\eq=\alpha {(X-\beta)}^{n}\), donde \(\alpha \in \mathbb{C}\)(tendría que ser un polinomio de grado \(0\), por el algoritmo de la división, siguiendo que es una constante). Esto es lo que querías probar.
Perdón que omití ese ''paso inductivo''; notá, sin embargo que sería una inducción para finitos casos, porque a partir de la derivada \(n\)-ésima, tendrías un polinomio constante, y claramente no valdría que \(\beta\) fuera raíz. Después coloco este paso que falta; pido disculpas.
Espero que te haya ayudado. Saludos.
Edit: arreglé algo, respecto a un paso turbio en la demostración.
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Muchas gracias por la pronta respuesta!!!
Entiendo todo, hasta que llegas a esta parte:
" De ahi que una de las raíces tenga multiplicidad mayor o igual que 2 en \(f'\). "
Lo q no entiendo es lo siguiente, si supongo que tengo una sola raiz multiple en \(f'\). Y digo que es de multiplicidad 2. Igual tendria n-2 raices de \(f'\) que serian dobles en \(f\). y volveria al absurdo que decis, ya que \(f\) es de gr = n
Por otro lado, entiendo la idea de que, con la induccion demostras que \(\beta\) es raiz de \(f\) derivada \(n-1\) veces... y q por lo tanto, esa raiz vale para todas las anteriores. Pero sin embargo no entiendo bien como hacerla.
Espero haberme expresado bien. Perdon por la dureza! jaja
Gracias nuevamente!
Planteá lo siguiente(ahora veo que lo que te dije que hicieras no iba a salir tan fácil como esto); tenés \(f''\), luego, sabés que \({\beta}_{1}\) es de multiplicidad doble, con lo que es raíz de \(f''\). De nuevo, suponé que las raíces sean todas simples, para llegar al mismo absurdo con \(f'\). De acá que tenés al menos una raíz es de multiplicidad doble. Sea \({\beta}_{2}\). Así, de manera inductiva, probás que para cada \({f}^{i}\), hay al menos una raíz doble. Para cuando llegués a \({f}^{n-1}\), te va a quedar un \({\beta}_{n-1}\) que forzosamente va a tener multiplicidad \(1\)(es que \({f}^{n-1}\) es de grado 1). En este punto, debería verse fácil que todos los \({\beta}_{i}\) que tomaste son iguales. Fijate si ahora sale. Perdón por el error.
Siii joya! Se entendio perfecto! Te das cuenta bastante facil que \(\beta\) es de multiplicidad n con eso!
Muchisimas gracias!!!
Hola! alguien me podría decir si esta resolución está bien?? porque me parece demasiado simple.. no sé si algo estará mal:
\(f(x) = a(x - b)^n\), entonces \(f'(x) = an(x - b)^{n-1}\).
Ahora veo qué pasa si \(f' | f\):
\(an(x - b)^{n-1} | a(x - b)^n\) y como \(a\) y \(n\) son constantes, elijo \(a \not = 0\), lo que implica que \((x - b)^{n-1} | (x - b)^n\), luego \(1 | (x - b)\) y esto es obvio que pasa siempre sin importar el \(b\). Entonces tengo que siempre existen \(a\) y \(b\), pues puedo tomar cualquier \(a \not = 0\) y cualquier \(b \in \mathbb{C}\).
Bueno, espero a que me contesten pronto porque el final es mañana y necesito saber si está bien!!
Gracias!!!
Ah!! entre Christian y Juosja me explicaron cómo era!!
Ahora entiendo, sí, estaba mal, yo parto de que \(f(x) = a(x - b)^n\) cuando quiero saber si en realidad puedo escribir a \(f(x)\) de esa forma.
Duda aclarada, gracias!!
No se dan una idea lo que me costó este problema!! a ver si ahora está bien la resolución!!
Llamo \(P(n)\) a la propiedad que dice que "si \(gr(f) = n\), y \(f'|f\), entonces puedo escribir a \(f\) como \(f(x) = a(x - b)^n\)".
Vemos que \(P(2)\) vale:
Como \(n = 2\), \(f\) se escribe como producto de una constante a, por dos polinomios de grado 1. esto es: \(f(x) = a(x - c)(x - d)\). Como \(f'|f\) y \(gr(f') = 1\) significa que la raíz que divide a \(f'\), no sólo divide a \(f\), sino que es doble en \(f\). De esta forma, \(f(x) = a(x - b)^2\). Por lo que vale \(P(2)\).
Ahora veamos que \(P(n) \Rightarrow P(n+1)\).
Asumamos que vale \(P(n)\), y tomemos \(f(x)\) un polinomio de grado \(n+1\). Sabemos que esté se puede escribir como producto de un polinomio de grado \(n\) por un polinomio de grado 1. Y como asumimos que \(P(n)\) vale, podemos escribir al polinomio de grado \(n\) como \(q(x) = a(x - b)^n\). Además \(q'|q\) pues \(q'(x) = an(x-b)^{n-1}\) y es claro que \(an(x-b)^{n-1}\) divide a \(a(x-b)^n\). Luego tenemos que \(f(x) = q(x) \cdot h(x)\), lo que es lo mismo que \(f(x) = a(x - b)^n \cdot c(x - d) = ac(x - b)^n \cdot (x - d)\). Ahora, como \(n \geq 2\), sabemos que \(b\) es una raíz múltiple, y supongamos que \(d \not = b\), por lo que \(b\) tendría multiplicidad \(n\). De esta forma \(b\) tendría multiplicidad \(n-1\) en \(f'\), pero como la suma de multiplicidades de las raíces de \(f'\) tiene que ser \(n\) puesto que \(gr(f') = n\), y \(f'|f\), tenemos que \((x - d) | f'\), pero si esto pasa, \(d\) debería ser una raíz múltiple en \(f\), lo que no es cierto. Entonces lo que habíamos supuesto es falso, por lo tanto no se cumple que \(d \not = b\), y de esta forma como \(d\) tiene que ser igual a \(b\), tenemos que \(f(x) = an(x - b)^{n+1}\). Luego vale \(P(n+1).\)
Finalmente, como vale \(P(2)\) y \(P(n) \Rightarrow P(n+1)\), \(P(n)\) vale \(\forall n \geq 2\), que es lo que queríamos probar.
Espero que se haya entendido y que esté bien!!! Espero una respuesta!!!!!!!
Gracias!!!
EDITADO: agregué por qué \(q' | q\), igual tampoco pretendan mucho, ya no doy más, necesito dormir y el final es mañana 🙂
Editado 1 vez.
Pongo mi resolucion no inductiva:
Escribamos \(f=c\prod_{i=1}^n(x-a_i)^{e_i}\) con los \(a_i\) distintos por el teorema fundamental del algebra. Lo que queremos es ver que n=1.
La multiplicidad de \(a_i\) como raiz de f' es \(e_i-1\). Y uno sabe que si sumo las multiplicidades de todas las raices de un polinomio eso tiene que dar el grado. Entonces observamos 2 cosas:
1.\(gr(f) =\sum e_i\)
2.\(gr(f)-1=gr(f')\)
Si f' | f entonces todas las raices de f' son raices de f y por lo tanto:
3.\(gr(f')=\sum(e_i-1)=\sum(e_i)-n=gr(f)-n\)
Igualando 1 y 3 llegamos a n=1 que es lo que queriamos demostrar
Que buen ejercicio, que alguien lo pase al wiki!
Si no se entiende pregunten
Quimey
Una consulta.... me dan un polinomio de grado 15 con coeficientes complejos y me dan una raiz compleja... entonces derivo el polinomio y resulta que tambien es raiz del polinomio derivado. Entonces por lo demostrado en este ejercicio digo que es la unica raiz del polinomio? con multiplicidad 15?
La duda me surge de que en el enunciado no dice que multiplicidad tiene \(\beta\) en el polinomio derivado. Ni tampoco dice que \(\beta\) es raiz de f deridava n veces...
Gracias de antemano.
Este ejercicio dice más: dice que si \(a\) es una raíz de \(f'\) entonces es una raíz de \(f\), vale decir, que \(f'|f\). Fijate que es más débil el caso que decís, porque sólo pedís que esa raíz de \(f\) sea raíz de \(f'\)(o sea, que resulte múltiple) y que \(f'\) y \(f\) compartan una raíz compleja, vale decir, \((f:f')\neq 1\) no quiere decir que \(f'|f\).