Final 14/10/04 Ejercicio 1

Hola!! Tengo una consulta sobre el Ejercicio 1 de este final, porque no está claro:

http://www.dm.uba.ar/materias/algebra_1/2005/2/f_14_10_04.pdf (14/10/04)

EDITADO: Bueno, me di cuenta que me la había re complicado.. jaja, estaba intentando ver si valía la reflexividad, pero me di cuenta que se puede mostrar que no es ni simétrica ni antisimétrica para demostrar que \(R\) no es una relación de orden ni de equivalencia, ya que estoy posteo como sería el planteo con los ejemplos:

Para mostrar que \(R\) no es ni una relación de orden, ni de equivalencia, basta mostrar que no es ni simétrica ni antisimétrica, veamos ambos casos:

Que \(R\) sea simétrica significa que \(\forall a,b \in C, aRb \Rightarrow bRa\).
Veamos un contraejemplo:

, \(aRb\) puesto que si pintamos en \((1,1)\) en \(a\) obtenemos \(b\), pero como en \(b\) todas las celdas son blancas, no puede aparecer ninguna negra, entonces **no** \(bRa\). Por lo tanto como \(aRb\) y **no** \(bRa\), R no es simétrica.

Que \(R\) sea antisimétrica significa que \(\forall a,b \in C, a \not = b, aRb \Rightarrow\) no \(bRa\).
Veamos un contraejemplo:

, \(aRb\) puesto que si pintamos en \((2,1)\) en \(a\) obtenemos \(b\), pero también \(bRa\) puesto que si pintamos en \((1, 2)\) en \(b\) obtenemos \(a\). Por lo tanto como \(a \not = b\), \(aRb\) y \(bRa\), R no es antisimétrica.

Luego, como \(R\) no es ni simétrica ni antisimétrica, \(R\) no es una relación de orden ni de equivalencia, que es lo que queríamos demostrar.
Espero haber ayudado!

Saludos!!