[No resuelto] Práctica 6- ejercicio 13. 1ºC 2008

Sea \(n\in\mathbb{N}\).Probar que
i)Si \(w\in\mathbb{C}\) es una raíz n-ésima primitiva de la unidad y \(k\in\mathbb{N}\) entonces \({w}^{k}\) es una raíz n-ésima primitiva de la unidad si y sólo si \((n:k)=1\)
ii)\({w}_{k}= \cos \frac{2k\pi}{n}+i\sin \frac{2k\pi}{n}\) es una raíz n-ésima primitiva de la unidad si y sólo si \((n:k)=1\)
iii) Sea \(n\in\mathbb{N}\). Probar que \(w\in\mathbb{C}\) es una raíz n-ésima primitiva de la unidad si y sólo si \(\overline {w}\) lo es
Me surge una duda con respecto a los primeros dos puntos el último lo hice:
Desde ya muchas gracias.
\({w}_{k}\) es una raíz primitiva de la unidad la podemos expresar como
\({w}= \cos \frac{2k\pi}{n}+i\sin \frac{2k\pi}{n}={e}^{\frac{i.2.k.\pi}{n}}\) con \((n:k)=1\) por ii)
Como \(|w|=1\) entonces \(\overline{w}={w}^{-1}\)
De acá se deduce que \(\overline{w}={e}^{\frac{i.2.(-k).\pi}{n}}\)

Entonces \((n:-k)=1\) por i) \(\leftrightarrow\) \(\overline{w}\) es raíz primitiva de la unidad

Yo tambien no pude demostrar esto.

El i si no estoy viendo mal sale si queda demostrado el ii..

Pero me gustaría saber como demostrar el ii...

Cual es tu definición de raíz primitiva?

Firma

Quimey

La definición que tengo es

w es una raiz primitiva enesima de la unidad si

te muestro el truco para el 1, el resto es parecido:
Sea w una primitiva, y sea k coprimo con n, quiero ver que \(z=w^k\) tambien lo es. Para eso tengo que ver que cualquier raiz de \(G_n\) es potencia de z. Sea \(u\in G_n\) entonces como w es primitiva existe i tal que \(u=w^i\), como k y n son coprimos puedo escribir al 1 como combinacion, es decir, existen s y t tales que \(1=sn + t k\) entonces \(u=u^1=u^{sn+tk}=w^{isn} w^{itk}=z^{it}\).

esta bien si lo demuestro asi ??
i)
Se que \(w \in G_{n}^{*} \Rightarrow w^{i} = 1 \Leftrightarrow i \equiv 0 (n)\) Quiero ver que \((w^{k}) = z \in G_{n}^{*} \Leftrightarrow (k:n)=1\)
IDA (\(\Rightarrow\))
Supongo \((n:k) = d \neq 1 , ~con~ k' = k/d \Rightarrow ~w^{k} = w^{k'd} ~\) y con \(n'=n/d \Rightarrow (w^{k'd})^{n'} = (w^{k'*d*n/d}) = (w^{n})^{k'} = 1^{k'}\) o sea que w^k elevado a la n' < n es igual a 1, lo cual es absurdo porque supuse que w^k era raiz primitiva, Entonces (k:n) = 1

el 2 seria con el mismo truquito de n/d, queriendo ver que el argumento se hace 0 (mod 2pi) si se multiplica por n'
[/Tex]

La ida esta bien, falta la vuelta. Igual no está muy bien escrito, es recomendable que uses más palabras y menos símbolos. Por ejemplo, cuando querés poner la definición de raíz primitiva te quedó algo así:

Hay dos formas de asociar y significan cosas distintas, y ninguna de las dos es la definición de raíz primitiva. Es mejor si lo ponés con palabras: \(w\) es una raíz primitiva si y sólo si el único exponente menor a \(n\) que la hace \(1\) es \(0\).

se que no es la definicion, pero es la propiedad mas importante si no me equivoco jeje
Muchas gracias por el consejo y por la correccion, rindo por segunda vez el miercoles :S