Estoy practicando algunos ejercicios para el final, y este no lo puedo resolver.
Probar que es verdadero para todo n.
$$\sum_{i=1}^{2^n}{\frac{1}{2i-1} } > \frac{ n+3 }{4}$$
gracias
Tema
PRACTICA 2. EJERCICIO 7) VI)
Ahí va, saludos.
El caso n = 1 se verifica a mano fácilmente. Para ver que si vale para n entonces vale apra n+1, hacés lo siguiente:
Que valga para \(n+1\) quiere decir que \(\sum_{i=1}^{2^{n+1}} \frac{1}{2i-1} > \frac{n+1+3}{4}\). Entonces partís la suma en dos cachos, el que ya conocés y el que no, y llegás a que
$$\sum_{i=1}^{2^{n+1}} \frac{1}{2i-1} = \sum_{i=1}^{2^n} \frac{1}{2i-1} + \sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{2i-1} > \frac{n+3}{4} + \sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{2i-1}.$$
Te basta entonces ver que
$$\sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{2i-1} \geq \frac{1}{4}.$$
Para ver eso, notar que como \(i \leq 2^{n+1}, \frac{1}{2i-1} \geq \frac{1}{2^{n+2}}\) (tarea para la casa). Entonces estás sumando \(2^{n+1} - 2^n = 2^n\) términos, cada uno de ellos más grande que \(2^{n+2}\), es decir que
\(\sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{2i-1} \geq \sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}} \frac{1}{2^{n+2}} = \frac{2^n}{2^{n+2}} = \frac{1}{4}\), tal como queríamos demostrar.
Viendo si encontraba algun ejercicio que con el que tuviera problemas, me cruze con este. mi duda es si lo que hice esta bien:
yo resolvi todo bien hasta que llego a \(\sum_{i=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{2i-1}\)
En esta parte hago un cambio de índice y llego a \(\sum_{j=1}^{2^k}\frac{1}{2.(2^k+j)-1}\)
Ahora planteo que \(\sum_{i=1}^{2^k}\frac{1}{2.(2^k+i)-1}>\frac{1}{4}\)
Viendo la forma de la sumatoria (desarrollandola, o como se diga) llego a que \(\sum_{i=1}^{2^k}\frac{1}{2.(2^k+i)-1}\leq\frac{1}{11}2^k\)
Despues lo que dije es q basta ver que \(\frac{1}{11}.2^k>\frac{1}{4}\) , esto último se cumple \(\forall k\geq2\)
Por lo que queda probar que \(P(2)\) es verdadero.
Entonces \(\sum_{i=1}^{2^2}\frac{1}{2i-1}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{176}{105}\) y \(\frac{2+3}{4}=\frac{5}{4}\). Luego \(\frac{176}{105}\geq\frac{5}{4}\)
Por lo tanto también se cumple para \(P(2)\)
En mi humilde opinión el ejercicio parece estar bien resuelto, el cambio de índice es correcto y demostraste con inducción corrida \(\forall{k} \geq2\) y por separado los casos n=1 y n=2 (el caso n=1 no lo pusiste pero supongo que lo demostraste previamente)
La única parte que no se cómo llegaste es cuando deci:
nicor escribió:
\(\sum_{i=1}^{2^k}\frac{1}{2.(2^k+i)-1}\leq\frac{1}{11}2^k\)
¿Cómo llegaste a que cada término es menor a \(\frac{1}{11}\)?
Firma
"Locura es hacer siempe lo mismo y esperar diferentes resultados" Albert Einstein
"Most People are other people. Their thoughts are someone elses opinions, their lives a mimicry, their passions a quotation" Oscar Wilde
nicor escribió:
Viendo la forma de la sumatoria (desarrollandola, o como se diga) llego a que \(\sum_{i=1}^{2^k}\frac{1}{2.(2^k+i)-1}\leq\frac{1}{11}2^k\)
Despues lo que dije es q basta ver que \(\frac{1}{11}.2^k>\frac{1}{4}\) , esto último se cumple \(\forall k\geq2\)
Este paso no lo entiendo. Tenés que \(\sum_{i=1}^{2^k}\frac{1}{2.(2^k+i)-1}\leq\frac{1}{11}2^k> \frac{1}{4}\)... y entonces?