24. Sea \(p\) un primo, \(p>2\) y sea \(a\in\mathbb{Z}\) tal que
\(p \nmid a\). Probar que \({p}^{n}| {a}^{(p-1){p}^{n-1}}-1\) para todo
\(n\in\mathbb{N}\).
Para provarlo hay que usar inducción.
Voy a probar primero \((p(n) \Longrightarrow p(n+1))\)
$$p \nmid a \Leftrightarrow (a:p)=1$$
Para facilitar la escritura \(B={a}^{(p-1){p}^{n-1}}\)
De la práctica 2 se sabe que \((B-1).(\sum_{i=0}^{p-1}{B}^{i})=({B}^{P}-{1}^{P})\)
La hipótesis inductiva es \({p}^{n}| B-1\)
y lo que quiero probar es \({p}^{n+1}| {B}^{p}-1\)
Como \(p|{p}^{n}\) por transitividad \(p|B-1 \Leftrightarrow B\equiv 1(p)\)
$$B\equiv 1(p) \Rightarrow {B}^{i}\equiv {1}^{i}(p) \forall i \in \mathbb{N}$$
$$\sum_{i=0}^{p-1}{B}^{i} \equiv \sum_{i=0}^{p-1}{1}^{i}=\sum_{i=0}^{p-1}= p \equiv 0(p) \Leftrightarrow p| \sum_{i=0}^{p-1}{B}^{i}$$
\(p| \sum_{i=0}^{p-1}{B}^{i} \Leftrightarrow \sum_{i=0}^{p-1}{B}^{i}=p.q\) \(q\in\mathbb{Z}\)
\({p}^{n}| B-1 \Leftrightarrow B-1={p}^{n}.k\) \(k\in\mathbb{Z}\)
Como \(q.k\in \mathbb{Z}\)
$${B}^{P}-{1}^{P}=(B-1).(\sum_{i=0}^{p-1}{B}^{i})=(p.q).({p}^{n}.k)=({p}^{n+1}).(q.k) \Leftrightarrow$$
$${p}^{n+1}|({B}^{P}-{1}^{P})$$
Entonces se probó que \((p(n) \Longrightarrow p(n+1))\) es verdadero.
Luego basta ver que p(1) es verdadera y probamos el enunciado.
P(1) dice "Si \((a:p)=1\) entonces \(p|{a}^{p-1}-1 \Leftrightarrow {a}^{p-1}\equiv 1(p)\)
Que es el teorema chico de Fermat.
Entonces por el principio de inducción queda probado para todo n.
Igual no usé que p>2 pero creo que también anda , bah!, la verdad no sé. En fín espero que sirva.