$$\textrm{Probar\;que\;todo\;numero\;natural\;se\;escribe\;univocamente\;en\;la\;forma}\;{a}^{2}t,\;a\;\textrm{natural,\;y\;t\;libre\;de\;cuadrados}$$
ACLARACIÓN: un número se dice libre de cuadrados si 1 es el único cuadrado que lo divide.
Este ejercicio puede encararse de varias maneras; utilizando el Teorema Fundamental de la Aritmética solo, o utilizando inducción, nada más. Voy a utilizar inducción, para mostrar lo útil que es. Probemos que vale para 1;
$$1\eq={1}^{2}\cdot 1$$
Ahora, la hipótesis inductiva; supongamos que vale para \(2\leq k\leq n\). Veamos que vale para n+1. En efecto, con n+1 pueden suceder dos cosas:
a)n+1 primo. Luego, n+1 se escribe como \(n+1\eq={1}^{2}\cdot (n+1)\), y por ser n+1 primo, no lo divide ningún cuadrado perfecto salvo el 1. Luego esta es la escritura para n+1.
b)n+1 compuesto. Luego, existe un primo p|n+1. Luego, \(n+1\eq=q\cdot p\), q natural. Luego, \(n+1\eq=p\cdot q\). Pero por el algoritmo de la división, \(2\leq q<n+1\). Luego, la hipótesis inductiva asegura que ''q'' se puede escribir como \(q\eq={a}^{2}\cdot t\). Reemplazo:
\(n+1\eq=p\cdot {a}^{2}\cdot t\). Ya casi estamos. Pueden suceder dos cosas:
A)p sea coprimo con t. En ese caso, como p es primo y t no es divisible por ningún cuadrado, concluyo que p.t es libre de cuadrados. Luego, \(n+1\eq=p\cdot {a}^{2}\cdot t\eq={a}^{2}\cdot (p\cdot t)\eq={a}^{2}\cdot {t}_{1}\), valiendo la escritura propuesta por demostrar.
B) p no sea coprimo con t. En ese caso, t=p.k, (k:p)=1, pues t es libre de cuadrados. Luego, \(n+1\eq={a}^{2}\cdot p\cdot t\eq={a}^{2}\cdot p\cdot p\cdot k\eq={a}^{2}\cdot {p}^{2}\cdot k\eq={a\cdot p}^{2}\cdot k\eq={{a}_{1}}^{2}\cdot k\). Claramente esta escritura es como la quiero probar, pues k es libre de cuadrados, por ser t libre de cuadrados.
Puesto que no hay más posibilidades(podría p|a², pero esto no afectaría, pues las potencias de los primos que dividen a a² son pares. Luego, no influye en este factor, porque en este caso obtendría una potencia impar de p. Por eso, este caso no es realmente un caso), concluyo que todo número natural n se escribe como \(n\eq={a}^{2}\cdot t\).
Falta probar la unicidad de esta escritura. En efecto, supongamos que no es única. Luego, \(n\eq={a}^{2}\cdot t\eq= {b}^{2}\cdot s\), como los de la escritura, a, t, b, c. Luego, notemos que a es distinto de b, como t de s. El T.F.A asegura que la factorización en primos de n es única. Luego, los primos elevados al cuadrado en ''a'' deben ser los mismos que aparecen en b. Como son distintos, se concluye que debe a|b, o b|a. Supongamos a|b. Luego, simplificando, y escribiendo b²=d²a²(notemos que el cociente de a|b debe ser un cuadrado perfecto), queda:
\(t\eq={d}^{2}\cdot s\). Pero esto es absurdo, porque t es libre de cuadrados, y lo obtenido implica que d²|t, y esto ocurre solo si a=b(ya que de esa manera d²=1). Concluyo que la escritura es única, luego.
Concluímos que todo número natural puede escribirse unívocamente como \(n\eq={a}^{2}\cdot t\), t libre de cuadrados, como queríamos probar.
Espero que les haya servido. Si encuentran, posteen este tipo de ejercicios con la resolución o sin la resolución. Es lo que suelen tomar en los finales(de hecho, creo que este es de un final). Saludos
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities