$$\textrm{Probar }\forall\;n \in \mathbb{N}$$
$$\sum_{i=1}^{n+1}\frac{2}{n+i}\leq\frac{5}{3}$$
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[Resuelto]Propuesto 1 (Práctica 2)
Pude resolver el ejercicio al final... posteo solucion:
\(\textrm{Por induccion:}\)
$$\textrm{La Hipotesis inductiva es: }\sum_{i=1}^{n+1}\frac{2}{n+i}\leq \frac{5}{3}$$
$$\textrm{Verifico q 1 cumple: }$$
$$\sum_{i=1}^{1+1}\frac{2}{1+i}\leq \frac{5}{3}$$
$$1+\frac{2}{3}\leq\frac{5}{3} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \frac{5}{3}\leq\frac{5}{3}\hspace{1cm}\surd$$
$$\textrm{Ahora el paso inductivo:}$$
$$\textrm{Debo ver q:}$$
$$\sum_{i=1}^{n+2}\frac{2}{n+1+i}\leq \frac{5}{3}$$
$$\textrm{Aplico un cambio de variable:}$$
$$j=i+1 \Rightarrow i=j-1$$
$$\textrm{Obtengo q:}$$
\(\sum_{j=2}^{n+2}\frac{2}{n+j}\)\(=\sum_{j=2}^{n+2}\frac{2}{n+j}+\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+1}\) \(=\sum_{j=1}^{n+2}\frac{2}{n+j}-\frac{2}{n+1}=\)
$$=\underbrace{\sum_{j=1}^{n+1}\frac{2}{n+j}}_{\leq\frac{5}{3}por HI}\underbrace{-\frac{2}{n+1}+\frac{2}{2n+2}}_{\leq-1}$$
$$\Rightarrow\sum_{j=1}^{n+1}\frac{2}{n+j}-\frac{2}{n+1}+\frac{2}{2n+2}\leq\frac{5}{3}$$
\(\Rightarrow\sum_{i=1}^{n+2}\frac{2}{n+1+i}\leq \frac{5}{3}\hspace{1cm}\Box\)
jajajaja gracias me estaba volviendo LOCO !
ahora voya poder dormir tranquilo (no, posta, sino no se resolvia no dormia jajaa)
saludos