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[A resolver] Otro del 2do parcial

2 respuestas 5479 visitas 2008-07-09

#1 Pape 2008-07-09 16:34

Sea n un numero natural que cumple que (-2+2i)^(9n+2)
--------------- es un número real negativo.(si,es un cociente)
1 - i

Cacular todos los posibles restos de dividir a n por 8.

Disculpen mi Desprolijidad sin Tex,pero estoy hasta las manos haciendo ejercicios =S

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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"

#2 exequiel131719 2008-07-09 19:02

Bueno, lo que yo pensé es lo siguiente.
Puesto que quiero que \(\frac{{(-2+2i)}^{9n+2}}{1-i}\) sea un número real negativo, no voy a estudiar el módulo de este complejo, sino su argumento. En efecto, este es \(\pi\). Luego...

\arg(\frac{{(-2+2i)}^{9n+2}}{1-i})\eq=\pi+2\pi k,\;k\in \mathbb{Z}

\arg({(-2+2i)}^{9n+2})-\arg(1-i)\eq=(9n+2)\arg(-2+2i)-\arg(1-i)\eq=\pi+2\pi k

(9n+2)\frac{3}{4}\pi-\frac{7}{4}\pi\eq=\pi+2\pi k

(9n+2)\frac{3}{4}-\frac{7}{4}\eq=1+2k

3(9n+2)-7\eq=4+8k

27n+6-7\eq=27n-1\eq=4+8k

\(27n-1-4\eq=27n-5\eq=8k\). Luego, serán aquellos n tales que \(27n-5\equiv 0(8)\Leftrightarrow 3n\equiv 5(8)\Leftrightarrow n\equiv 7(8)\). Claramente, el resto es 7, lo que responde a la pregunta del problema. Espero haber sido claro. Saludos.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#3 Pape 2008-07-09 20:38

Gracias no se me ocurrió estudiar el argumento, era mas facil una vez q sabias q hacer 😆