[resuelto]Examen final,(17-12-04), ejercicio1

Si \(n\in\mathbb{N}\), probar que en el conjunto \(\{n,n+1,...,2n\}\) hay un cuadrado perfecto
Utilizaremos inducción en ''n'', para probar la proposición del ejercicio. En efecto:
-\(n\eq=1\), tenemos \(A\eq=\{1,2\}\), y \(1\eq={1}^{2}\). Luego vale.

-Supongamos que vale para ''n'', es decir, sea \(B\eq=\{n,n+1,...,2n\}\), sabemos que hay un cuadrado perfecto. Sea \(C\eq=\{n+1,n+2,...,2n,2n+1,2n+2\}\). Pueden suceder dos cosas:
\(\bullet\)el cuadrado perfecto \(q,\;n+1\leq q\leq 2n\). Si q está en ese intervalo, como \(\{n+1,n+2,...,2n\}\subset C\), encontré el cuadrado perfecto buscado.
\(\bullet\)el cuadrado perfecto puede ser \(n\eq={a}^{2}\). Este número no se halla en C, pero veamos que pasa con el próximo cuadrado perfecto;
\(m\eq={(a+1)}^{2}\eq={a}^{2}+2a+1\eq=n+2\sqrt{n}+1\). Ahora bien, resulta:
\(n+2\sqrt{n}+1\leq 2n+2\Leftrightarrow 2\sqrt{n}\leq n+1\Leftrightarrow 4n\leq {n}^{2}+2n+1\Leftrightarrow 0\leq {n}^{2}-2n+1\eq={(n-1)}^{2}\). Puesto que esto vale para todo n, resulta que el próximo cuadrado perfecto está en el intervalo \(n+1\leq q\leq 2n+2\). Luego, hay un cuadrado perfecto en C.
Puesto que estos son todos los casos posibles, concluyo que como valió para n=1 y el paso inductivo, vale para todo n que hay un cuadrado perfecto en \(\{n,n+1,...,2n\}\), como queríamos probar.
Espero haber ayudado y haber sido claro. Saludos