Tema
Gente les dejo uno mas de complejos! Realmente se me complica en esto! A ver si me pueden hechar una mano!!
sea \(z=\sqrt{3}+i\) y sea \(w\) una raíz primitiva de orden \(35\) de la unidad. Encontrar todos los \(t \in Z\) tales que:
\(2z^{{t}^{2}}=2^{{t}^{2}}z\) y \(w^{{t}^{12}} = \overline{w}^{2t-2}\)
Saludos!
A ver lo que se me ocurre
\(z=\sqrt{3}+i=2.(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2})=\)
como \(w\in{G}_{n}\) entonces \(|w|=1\)
entonces \({z}^{-1}=\overline{z}\)
Gracias Christian, me venis salvando!!
Yo en la segunda parte, hice practicamente lo mismo, pero claro, de la primera no sabia q decir...
No entiendo bien esto que pusiste:
\({2}^{{t}^{2}+1}.{{e}^{\frac{{t}^{2}.\pi}{6}.i}={2}^{{t}^{2}+1}.{e}^{\frac{\pi}{6}.i}\)
Entonces$${{e}^{\frac{{t}^{2}.\pi}{6}.i}={e}^{\frac{\pi}{6}.i}$$Por que ese \({2}^{q}\) con \(q\in\mathbb{R}\) es distitno de 0 la norma de ambos números es 0 y sus argumentos son \(\frac{{t}^{2}.\pi}{6}=\frac{\pi}{6} +2k\pi\)
Hasta el entonces iba bien, no entiendo bien la aclaracion de la norma y por que concluis en q sos argumentos son esos.
Muchisimas Gracias!
Son varias parte
primero lo del 2 quise poner que dos elevado a cualquier cosa nunca da 0 entonces lo puedo pasar dividiendo
Por que me confundí quise decir que la norma o el módulo que los llamo igual pero no sé si son lo mismo son 1 en vez de 0.
Por que dos números son iguales si sus módulos lo son y sus argumentos difieren en dos k pi.
El módulo de \({e}^{\phi i}=cos(\phi)+isen(\phi)\) es \(\sqrt {{{cos(\phi)}^{2}+{sen(\phi)}^{2}}}=1\)
Por eso
Christian escribió:
$${w}^{{t}^2}.{w}^{2t-2}=1$$$${w}^{{t}^2+2t-2}=1$$Pero como \(w\in{G}_{35}\) entonces \({t}^2+2t-2\equiv 0 (35)\) y también tenemos \({t}^{2}\equiv 1(12)\)
una pregunta...esos dos valores de t posibles no los metieste en la otra ecuacion no???
otra pregunta...en q momento se usa q no solo es raiz de orden 35 de la unidad, sino q tmb es primitiva???? Yo lo plantee igual q vos y no lo uso nunca...
Christian escribió:
...
Pero como \(w\in{G}_{35}\)
entonces \({t}^2+2t-2\equiv 0 (35)\)
y también tenemos \({t}^{2}\equiv 1(12)\)
...
Aca usas que sea primitiva.
Quimey
Pero eso no significa solo q \(w \in G_{35}\) como puso el??
mmm, no entiendo...
digo esto, si estamos en q \(w^{t^{2}+2t-2}=1\), como \(w\in G_{35} \Rightarrow w^{35}=1 \forall w\). Entonces, si pedimos q \(t^{2}+2t-2 \equiv 0 (35)\), todos los \(w\) van a cumplir eso, los primitivos y los q no lo son; entonces sigo sin entender porq ahi usamos q son primitivas
(espero no haber repetido de nuevo lo mismo, pero no lo veo)
Vos estas pensando la implicación al reves:
Lo que sabemos es que \(w^{t^2-2t-2}=1\) y a partir de este hecho queremos concluir que \(35|t^2-2t-2\).
O sea te piden encontrar todos los t que verifican una condicion. Entonces vos no podes suponer nada sobre t.
Con lo que vos decis lo unico que estas mostrando es que si \(35|t^2-2t-2\) entonces \(w^{t^2-2t-2}=1\) pero eso no te garantiza que no haya otro t que tambien verifique \(w^{t^2-2t-2}=1\) pero no verifique \(35|t^2-2t-2\).
No se si se entiende.
Si no pensa solamente en esta condicion:
entendi todo lo q me decis, entonces, como garantizas q no haya otro t q lo cumpla?? 🙂
Justamente usando el hecho de que sea primitiva.
Que significa que \(w\in G_{35}\)sea primitiva?
Es que \(w^r \neq 1 \ \forall 1\leq r < 35\). ()
Ahora si \(w^n=1\), seguro que yo usando el algoritmo de division puedo escribir \(n=35q+r\) donde r es el resto, es decir, \(0\leq r < 35\).
Ademas \(1=w^n=w^{35q+r}=(w^{35})^q.w^r=w^r\)
Si \(r\neq 0\) entonces r verifica las condiciones de () y debe ser \(w^r \neq 1\), lo cual es absurdo. Por lo tanto r=0 y esto quiere decir que 35|n.
Hasta aca pudimos demostrar que si \(w^n=1\) entonces 35|n.
Y esto es justamente lo que usas en ese ejercicio.
Sabiendo que \(w^{t^2-2t-2}=1\) concluis que necesariamente tiene que ser \(t^2-2t-2\equiv 0 (35)\).
Entendes? Lo que digo es que sin suponer nada sobre t, solo usando las hipotesis que te dieron llegas a que si o si se tiene que dar una condicion sobre t. En este paso usas que sea primitiva.
Lo que tambien tenes que verificar es que si un t cumple esta condicion entonces se da lo que dice el enunciado. Para esto no es necesario que w sea primitiva.
En resumen:
El ejercicio te pide 3 cosas:
En el paso 2) no usas que w sea primitiva, pero en el paso 3) si.
fantastico, gracias
Quimey, impecable tu explicación! De verdad, me sirvió mucho.
Lo único que creo q hay un error en el enunciado, porque dice \(w^{t^{12}}\)y después en la resolución siempre escribieron\(w^{t^{2}}\), y yo lo hice todo con \(w^{t^{12}}\) y es larguísimo, porq hay más soluciones.. :S
Hey, una pregunta. Llegás a que \(t^2 \equiv 1 \pmod{12}\). Pero esto no significa que \(t\equiv 1 \pmod{12}\) o \(t \equiv 11 \pmod{12}\). Esto significa que \(t \equiv 1, 5, 7, 11 \pmod{12}\).
Otra forma de usar que es primitiva (en realidad es lo mismo), sabés que \(t^2.arg(w) = (-2t+2).arg(w) + 2k\pi\). Si es primitiva, \(arg(w) = \frac{r.2\pi}{35}\), con \((r:35) = 1\). Entonces te queda \(t^2\frac{r.2\pi}{35} = (-2t+2).\frac{r.2\pi}{35} + 2k\pi\). Tachando \(2\pi\), y moviendo términos, nos queda que \((t^2+2t-2).\frac{r}{35} = k\). Pero \(k \in \mathbb{Z}\). Pero si r es coprimo con 35, todos los primos tal que se cancelen con 35 tienen que venir de \(t^2+2t-2\). Entonces \(t^2+2t-2 = q.35\), para algún \(q \in \mathbb{Z}\). De ahí que \(t^2-2t+2 \equiv 0 \pmod{35}\).
No habría que desarrollar esto más? O sea, para usar el teorema chino del resto y sacar las soluciones mod \(12\cdot 35=420\)?
EDIT: Las soluciones, mod 420, me dan 53, 193, 263, y 403.
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.