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Final 10/12/04 Ej. 4 y 5

5 respuestas 8638 visitas 2008-12-27

#1 Juosja 2008-12-27 17:25

Bueno les dejo ootro mas de complejos, y uno de polinomios del mismo final!

Sea \(g \in C[x]\) y sea \(f = X^4g\). Hallar los posibles valores del término constante de \(g\), sabiendo que 0 es raíz de multiplicidad \(8\) del polinomio \(X^5f'+f^2\).
Sea \(z\) una raiz 18-ésima primitiva de 1. Caracterizar los \(n \in N\) tales que \(Z^{4n} \in G_{12}\)

Espero respuestas!! GRACIAS!!
SALUDOS!

#2 Christian 2008-12-27 18:32

A ver lo que se me ocurre para el 4, esperemos que este bien
\(f=x^4g\)

$$f'=4x^3g+x^4g'$$

$$h=x^5f'+f^2=x^5.(4x^3g+x^4g')+x^8g^2$$

$$h=x^8.(4g+x.g')+x^8g^2$$

$$h=x^9.g'+x^8.(4.g+g^2)$$

$$h=x^8.(g'x+4.g+g^2)$$

Como h está en \(\mathbb{C[X]}\) que es un anillo integro entonces h se anula si \(x^8=0\) o \(g'x+4.g+g^2=0\) pero como 0 es multiplicidad 8 para h y \(x^8\) ya tiene multiplicidad 8 entonces x no divide a \(g'x+4.g+g^2=g'x+g.(4+g)\) por que si lo dividiría entonces h tendría multiplicidad por lo menos 9 que no es lo pedido.

$$J=g'x+g.(4+g)$$

J(0)=g'(0).0+g(0).(4+g(0))={a}_{0}.(4+{a}_{0})

Donde \({a}_{0}\) es el término independiente de g entonces J(0) se anula si \({a}_{0}=0\) ó \({a}_{0}=-4\) Por ser \(\mathbb{C}\) un anillo integro. Entonces si \({a}_{0}\) no toma esos valores x no divide a J. Entonces \(\forall {a}_{0}\in \mathbb{C}\)-{0,-4} 0 es raíz 8 de h. A ver el 5 \(z\in{G}_{18}\) \(\leftrightarrow\) \(z^{18}=1\) Entonces por las hipótesis \({(z^{4n})}^{12}=1\) osea \({z}^{{2}^{4}.3.n}=1\) como \(z\in{G}_{18}\) entonces eso solo pasa si \({2}^{4}.3.n=k.18\) osea \({2}^{3}.n=3.k\) Entonces \({2}^{3}.n\equiv 0(3)\) \(\leftrightarrow\) \(n\equiv 0(3)\) la verdad que estos ejercicios las justificaciones me matan espero qeu sea de ayuda

#3 Juosja 2008-12-27 18:59

Hola! Gracias por la respuesta!!
Se entendieron perfectamente tus resoluciones, pero te hago una consulta: En la resolucion del ejercicio 4: Vos hallas un \(a_{0}\) y decis q ese es mi termino independiente, luego el polinomio, puede tomar cualquier valor, menos esos dos, para q no aumente la multiplicidad de 0.
Pero el ejercicio pedia hallar los posibles valores para el termino constante... Es lo mismo que el termino independiente?? Yo habia entendido que el termino constante era por ejemplo:

\(f = c (x-a) (x-b)...... (x-n)\) Donde \(c\) era mi constante... estoy confundidisimo no? Si lo pienso el termino independiente es constante porq no depende de x...

En cuanto al de polinomios yo lo encuentro joya, la logica es indiscutible jaja.

Gracias!! SALUDOS!

#4 Christian 2008-12-27 19:05

Gracias menos mal que se entiende, la verdad no entendí muy bien el enunciado por eso pense que era el término independiente al principio pensé que g era constante.
Igual creo qeu el c sería el coeficiente principal
saludos.

#5 BiFo 2009-12-28 13:23

Christian escribió:

A ver el 5
\(z\in{G}_{18}\) \(\leftrightarrow\) \(z^{18}=1\)
Entonces por las hipótesis \({(z^{4n})}^{12}=1\)
osea \({z}^{{2}^{4}.3.n}=1\)
como \(z\in{G}_{18}\) entonces eso solo pasa si \({2}^{4}.3.n=k.18\)
osea \({2}^{3}.n=3.k\)
Entonces \({2}^{3}.n\equiv 0(3)\) \(\leftrightarrow\) \(n\equiv 0(3)\)
la verdad que estos ejercicios las justificaciones me matan espero qeu sea de ayuda

Buenas.
No deberias poder plantear que
Sabemos solamente que \({z}^{4.{n}} \in {G}_{12}\); pero no que sea raiz primitiva de \({G}_{12}\), por lo tanto es falso plantear que \({(z^{4n})}^{12}=1\), pues lo unico que sabemos es que \({z}^{18}=1\), ¿por lo que la hipotesis es falsa?

Saludos!

#6 FJL 2009-12-28 18:45

Mm no entiendo muy bien. Si sabemos que \(z^{4n} \in G_{12}\), entonces \((z^{4n})^{12} = 1\), por definición de \(G_{12}\).

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.