Hola, finalmente conseguì el ùltimo examen, acà va:
Una persona adquiere un abono en un gimnasio para efectuar 10 sesiones de entrenamiento en 10 dìas distintos del mes de septiembre. ¿De cuàntas maneras puede programar su actividad si debe tener al menos un dìa de descanso luego de cada sesiòn?
Sea A= \(\{18 + 102k/0 \leq k\leq 1000 \}\) . Determinar cuàntos elementos de A son coprimos con 35.
Sea A= {1,2,3,.....,18} y sea R la relaciòn en A definida por:
aRb si y sòlo si \({a}^{13}{b}^{43}\equiv ab (19)\)
Probar que R es una relaciòn de equivalencia.
Sea \(w \in G18\) una raìz primitiva de la unidad. Determinar todos los n \(\in \mathbb{N}\) tales que \({w}^{4n} \in G12\).
i) Encontrar un polinomio mònico f \(\in \mathbb{Q}\) de grado 3 tal que la suma de las raìces de f sea igual a -4, el producto de las raìces de f` sea igual a 2/3 y f(1)=4.
ii) Factorizar el polinomio f hallado en i) en \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, y \mathbb{C}\).
Primero excelente aporte muy bueno
A ver se me ocurrió algo del 1
Bueno septiembre tiene 30 días, de los cuales va a entrenar 10 días y tiene 9 días para descansar y restan otros 11 días.
tengo los 30 días y los divido en dos grupos uno de 19 días y otro de 11.
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvkkkkkkkkkkk
dentro la cantidad de permutaciones de estos días sin distinguirlos es
30!el total dividido 11! de los días que sobran y 19! de los días importantes.
que por alguna razón que no sé es igual a
Christian, no se el 1 esté bien.. te digo lo que pensé yo y me decis que te parece.. quizás le pifié yo jeje
bueno, vas a ver que al principio empiezo igual que vos, pero después lo armo diferente, por lo que me da otro resultado, acá va:
Tenemos:
10 DIA_SESION + 9 DIA_DESCANSO + 11 DIA_LIBRE (pues sept. tiene 30 días) a los que llamaremos: 10 S, 9 D y 11 L respectivamente
Luego agrupamos 10 S y 9 D de la siguiente forma,
SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, S
sabiendo que sean cuales sean los días elegidos, como no importa el orden, a S lo consideraremos igual que SD puesto que una vez elegidos los días indistintamente del orden, elegimos poner S al final sabiendo que al día siguiente puede descansar porque ya terminó las 10 sesiones.
Ahora tenemos los 11 L que quedan, por lo que los ponemos al final para ver qué elementos tenemos a permutar:
SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, S, L, L, L, L, L, L, L, L, L, L, L
Y como sabiendo que S es considerado igual que SD por lo explicado anteriormente, no quedaría entonces que hay 21 elementos a permutar con un grupos de 10 elementos iguales entre sí, y otro grupo de 11 elementos iguales entre sí. Entonces la cantidad de permutaciones diferentes totales son \(\frac{21!}{10! \cdot 11!} = \binom{21}{10} = 352716\), por lo que hay 352716 formas de elegir los días de las sesiones.
Y con respecto al 4, vi también lo que posteaste en el otro thread, está muy buena la resolución, pero tengo un solo detalle para remarcar, guarda cuando decis:
Christian escribió:
como \(z\in{G}_{18}\) entonces eso solo pasa si \({2}^{4}.3.n=k.18\)
además de que \(z \in G_{18}\), también habría que usar que es primitiva en \(G_{18}\), sino no sería cierto.. pero más allá de eso, excelente resolución! muy claro y simple! 🙂
En finn, decime que te parece el 1!! porque quizás le pifiée yo =)
En tu caso, axelbrz, estás contando mal, porque cuando decís:
SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, S, L, L, L, L, L, L, L, L, L, L, L
no vale, cualquier orden; en efecto, el orden:
S, SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, L, L, L, L, L, L, L, L, L, L, L
no sería válido pues no tenés un día de descanso. En el caso de Chirstian pasa lo mismo. Me parece más fácil atacar el ejercicio por la negación:
AVISO: hasta previo comentario, no mirar la resolución; contiene un terrible error. El edit se colocó en este punto, para no intoxicar la mente del que lea con ideas falsas e incorrectas.
Si tenés que negar lo que te piden contar, estás pidiendo que no tengas días de descanso de por medio. O sea, que tengas todos los días seguidos. Esto es equivalente a pensar los días de sesión como un bloque, y luego tenés para reordenar ese bloque, y 20 días libres. Bajo el razonamiento que ustedes esbozaron, esto es \(\frac{21!}{20!}\eq=21\).
Ahora, contás el total de casos. O sea, cómo distribuir los 10 días de sesión entre 30 días distintos. Esto no es otra cosa que \({30 \choose 10}\), de donde obtenés como resultado final:
$${30 \choose 10}-21$$
Ese es el total de posibilidades.
Fíjense si parece razonable. Son las 4:17 am, es combinatoria... así que bueno. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Bueno, acá va el 2:
Tenemos entonces que \(A = \{18 + 102k/0 \leq k\leq 1000 \}\)
Para saber la cantidad de elementos de \(A\) que son coprimos con \(35 = 7 \cdot 5\), basta saber la cantidad de elementos de \(A\) que no son coprimos con \(35\), y luego restarle al total de elementos de \(A\), esa cantidad.
Sabemos que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \((n:5 \cdot 7) \not = 1 \Leftrightarrow 5|n \land 7|n\)
Entonces, para saber cuántos elementos de \(A\) no son coprimos con \(35\), basta contar cuántos múltiplos de \(5\) hay, sumarle la cantidad de múltiplos de \(7\) que hay, y como estaremos contando la cantidad de múltiplos de \(5 \cdot 7\) dos veces, deberemos restarle luego la cantidad de múltiplos de \(5 \cdot 7\) que hay en \(A\). Luego obtendremos la cantidad de elementos de \(A\) que no son coprimos con \(35\).
\(\bullet\) Veamos cuántos múltiplos de \(5\) hay en \(A\):
con \(0 \leq k \leq 1000\), tenemos que \(18 + 102k \equiv 0 (5) \Leftrightarrow 3 + 2k \equiv 0 (5) \Leftrightarrow 2k \equiv -3 \equiv 2 (5) \Leftrightarrow k \equiv 1 (5)\) por ser \((2:5) = 1\).
Luego como \(5 \cdot 0 + 1 = 1\) es el menor \(k\) posible, y \(5 \cdot 199 + 1 = 996\) es el mayor \(k\) posible, tenemos que hay \(199 + 1 = 200\) valores de \(k\) posibles, lo que significa que hay \(200\) múltiplos de \(5\) en \(A\).
\(\bullet\) Veamos cuántos múltiplos de \(7\) hay en \(A\):
con \(0 \leq k \leq 1000\), tenemos que \(18 + 102k \equiv 0 (7) \Leftrightarrow 4 + 4k \equiv 0 (7) \Leftrightarrow 4(1 + k) \equiv 0 (7)\), y por ser \((4:7) = 1\), \(\Leftrightarrow 1 + k \equiv 0 (7) \Leftrightarrow k \equiv -1 \equiv 6 (7)\).
Luego como \(7 \cdot 0 + 6 = 6\) es el menor \(k\) posible, y \(7 \cdot 142 + 6 = 1000\) es el mayor \(k\) posible, tenemos que hay \(142 + 1 = 143\) valores de \(k\) posibles, lo que significa que hay \(143\) múltiplos de \(7\) en \(A\).
\(\bullet\) Veamos cuántos múltiplos de \(5 \cdot 7\) hay en \(A\):
Esta vez es más fácil, puesto que podemos saber cuál es el resto de dividir \(k\) por \(35\), sabiendo que \(k \equiv 1 (5)\) para que \(5|18 + 102k\) y que \(k \equiv 6 (7)\) para que \(7|18 + 102k\), ya que por el Teorema Chino del Resto, hay un sólo valor de \(0 \leq k < 7 \cdot 5\) que cumple, y como \(6\) cumple ambas condiciones, entonces \(k \equiv 6 (35)\) para que \(5 \cdot 7 | 18 + 102k\).
Luego como \(35 \cdot 0 + 6 = 6\) es el menor \(k\) posible, y \(35 \cdot 28 + 6 = 986\) es el mayor \(k\) posible, tenemos que hay \(28 + 1 = 29\) valores de \(k\) posibles, lo que significa que hay \(29\) múltiplos de \(5 \cdot 7\) en \(A\).
Ahora, como dijimos al principio, la cantidad de múltiplos de \(5\) o \(7\) en \(A\), es la cantidad de múltiplos de \(7\) en \(A\), más la cantidad de múltiplos de \(5\) en \(A\), menos la cantidad de múltiplos de \(35\) en \(A\), por lo que entonces hay \(200 + 143 - 29 = 314\) divisores de \(5\) o \(7\) en \(A\), por lo que entonces hay \(314\) elementos de \(A\) que no son coprimos con \(35\).
Luego, como \(A\) tiene 1001 elementos, tenemos que hay \(1001 - 314 = 687\) elementos de \(A\) coprimos con \(35\), y esto es lo que estabamos buscando.
Díganme que les parece!
Exequiel una pregunta, ponele acá Posteado: 28 Dic 2008, 03:19 Responder con cita
"Si tenés que negar lo que te piden contar, estás pidiendo que no tengas días de descanso de por medio. O sea, que tengas todos los días seguidos "
No entendí esa parte por que ponele podés tener dos días de seción juntos y los demás separados y ese caso no iría pero tampoco está dentro de los casos de todos los días seguidos quizas estoy interpretando mal
la verdad que estos ejercicios los odio por que es ser vivo o no, y bueno siempre me cagan.
exequiel131719, antes que nada, fijate que tu planteo es falso, pueden no haber días de descanso, y además no estar todos seguidos, S, S, L, S, .. (etc) sería un ejemplo.
Con respecto a mi planteo, si es por ese motivo creo que no estoy contando mal, fijate que al eliminar las repeticiones de los 10 elementos, estoy considerando a S como un SD (por eso aclaré tantas veces eso).. para que entiendas qué quise decir.. veamos sólo las permutaciones de los SD/S:
si tengo 10 SD/S y quiero ver las permutaciones, veo las permutaciones de:
SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, SD, S
Entonces, si fuesen todos diferentes, tengo \(10!\) permutaciones diferentes, pero como consideré todas iguales, divido por la cantidad de repeticiones (y ahí está el truco), me quedan: \(\frac{10!}{10!} = 1\) permutaciones.. por lo que como me queda sólo \(1\) elijo poner \(S\) al final que fue lo que dije al principio 😉
Perdón; negué como una bestia. Los casos contados como negación no van; son muchos más. Lo triste, es que no es difícil negarlo; la negación sería que exista al menos uno de lo 10 días para el cual no haya un día de descanso de por medio.
Otro tema; no se leer bien. Disculpas, axelbr(igual la cuenta debía dar lo mismo, así que crítica de más la mía); ya veo vectores a esta hora; dije, la hora y combinatoria juntos producen esto.
Creo que el de Axel está bien.
El mio lo que tiene mal es que estoy contando casos de más :ejemplo
vvvvvvvvvvvvvvvvvvkvkkkkkkkkkk=vvvvvvvvvvvvvvvvvkvvkkkkkkkkkk
Exequiel no te hagas drama son cosas que pasan.
En fín espero ser claro.
Saludos.
Jaja, sii, yo ayer ya las últimas horas también estaba con la cabeza que no podía mas!! jaja, es más, iba a plantear cómo se podía armar esta idea tuya:
exequiel131719 escribió:
la negación sería que exista al menos uno de lo 10 días para el cual no haya un día de descanso de por medio.
que está muy buena!, pero no me salía, y terminé sin postear nada jeje.. lo único que una vez planteado eso, habría que asegurarse de no repetir casoss, eso solo, pero es buena idea también 🙂
Podemos pensar que tenemos 20 días de descanso y 10 de entrenamiento a los que llamaremos D y E respectivamente. Una distribución posible sería:\(EDEDEDDDDEDEDEDEDEDDDEDEDDDDD\)
Entonces podemos armar una serie de 20 días de descanso como sigue:\(\underbrace {DDDD...DD}_{20}\) si ahora intercalamos unos asteriscos (a modo de una variable muda) entre cada D (voy a tratar de armar bosones o algo parecido)\(*D*D*D*D*...*D*D*\) es claro que tenemos 21 asteriscos y 20 días de descanso. Bueno el problema se reduce ahora a ver de cuantas maneras se pueden colocar 10 días de entrenamiento en lugar de 10 de los asteriscos que coloqué.O sea puedo elegir 10 lugares entre 21 posibles.
$$\left({21\atop 10}\right)=352716$$
Bueno, esta una solución posible, me gustaría saber que les parece.
Saludos
Ese polinomio no puede ser, pues \(f(1)=-2\ne4\).
El polinomio es \(f(x) = x^3 + 4x^2 -2x+1\)
EDIT: Para el 3.
Reflexiva:
\(a^{13} a^{43} = a^{56} = a^{\varphi(19)\cdot 3 + 2} = (a^{\varphi(19)})^3 \cdot a\cdot a \equiv a\cdot a \pmod{19}\).
Simétrica:
Transitiva:
\(a^{13} b^{43} \equiv ab \pmod{19}\) y \(b^{13} c^{43} \equiv bc \pmod{19}\)
Entonces \(a\cdot b\cdot b\cdot c \equiv a^{13} b^{43} b^{13} c^{43}\pmod {19}\)
La respuesta es clara - metí la pata 🙂 Y no podía ser de otra forma que comiéndome un signo.
Si el polinomio es \(f(x) = a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\), entonces los coeficientes son
$$f(x) = a(x-\alpha)(x^2 -\beta x - \gamma x + \beta\gamma) = a(x-\alpha)(x^2 -(\beta + \gamma)x + \beta\gamma)$$
$$f(x) = a(x^3-(\beta + \gamma)x^2 + \beta\gamma x - \alpha x^2 + \alpha \beta x + \alpha \gamma x - \alpha \beta \gamma)$$
Me dicen que la suma de las raices, \(\alpha + \beta + \gamma\), es -4. Si la suma de las raices es -4, y a = 1 porque es mónico, entonces el coeficiente de grado 2 es -1 * -4 = 4. Entonces nuestro polinomio tiene que ser de la forma \(f(x) = x^3 + 4x^2 + \epsilon x + \delta\).
Veamos \(f'(x) = 3x^2 + 8x + \epsilon\). Sé que el producto de sus raíces es \(\frac{2}{3}\). Si f' es de la forma \(f'(x) = 3(x-\alpha')(x-\beta')\), entonces \(f'(x) = 3(x^2 - \alpha' x - \beta' x + \alpha' \beta') = 3x^2 - 3(\alpha' + \beta')x + 3\alpha'\beta'\). Me dicen entonces que \(\alpha' \cdot \beta' = \frac{2}{3}\). Entonces \(f(x) = 3x^2 + 8x + \epsilon = 3x^2 + 3(\alpha' + \beta')x + 3(\frac{2}{3})\), entonces \(\epsilon = 2\).
Entonces mi polinomio tiene la forma \(f(x) = x^3 + 4x^2 + 2x + \delta\). Pero \(f(1) = 1 + 4 + 2 + \delta = 4 \iff \delta = -3\).
Entonces el polinomio es \(f(x) = x^3 + 4x^2 + 2x - 3\).
Factorizar esto en Q, R y C es fácil porque usamos Gauss y encontramos la raíz -3.