Dice:
Sea \(a \in \mathbb{N}\). se define la sucesión \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) de la forma siguiente:
$$x_1 := 3a$$
$$x_{n+1}= 3 x_n -a$$
Probar que \((x_1:x_n)=a\) para todo \(n \geq 2\).
Probemos lo que nos piden por inducción.
\(P(2)\) dice que \((x_1:x_2)=a\)
$$x_1 = 3a$$
$$x_2 = 3 x_1-a = 3.3a-a = 8a$$
$$(3a:8a)=a(3:8)=a$$
Entonces \(P(2)\) es verdadera.
$$P(n) \Rightarrow P(n+1)$$
\((x_1:x_n)=a\). Entonces \(a|x_1\) y \(a|x_n\).
\(d=(x_1:x_{n+1}) = (3a:3 x_n-a)\). Entonces \(d|3a\) y \(d|3x_n-a\). Pero \(a|x_n\), entonces \(x_n = a.k\), entonces \(d|3.k.a-a\) o lo que es lo mismo \(d|(3k-1)a\)
entonces: \(d|(3a:(3k-1)a)=a(3:3k-1)\)
como \((3:3k-1) = 1\), entonces \(d|a\) y como \(a|3a\) y \(a|3x_n-a\), entonces \(d=a\) como queríamos probar.