[A resolver] Final 16/12/05 - Ejercicio 2, combinatoria

El ejercicio 2 dice así:

**2. ** Sea \(A = \{n \in \mathbb{N} : 2 \leq n \leq 101\}\).
Determinar cuántas funciones biyectivas \(f : A \rightarrow A\) satisfacen que \(f(i) = i + 1\) para todo \(i\) par y \(f(i) > i\) para todo \(i \leq 20\)

Bueno, es claro que:
Se usan todos los elementos impares de \(A\) y me quedan sólo los \(i\) pares para asignárselos a los \(f(i)\) con \(i\) impar... Pero eso de \(f(i) > i\) me mató!!

Alguna ayuda??

Gracias!!

Bueno, recién hablando con un amigo me contó lo que se le ocurrio, y la verdad que está buenísimo!! jaja, acá va:

Bueno, veamos.. es claro que todos los \(i\) impares fueron asignados a todos los \(f(i)\) con \(i\) par, puesto que asigno los números desde \(min A = 2\) que es par (y le asigno el siguiente impar), hasta \(max A = 101\) que como es impar fue asignado para el \(f(100)\), por lo que todos los números impares fueron asignados y de una sóla forma.

Ahora entonces nos quedan los \(50\) números pares, para ser asignados a todos los \(f(i)\) con \(i\) impar, y debemos cumplir la condición de que \(f(i) > i\) para todo \(i\) impar y \(i \leq 20\), o lo que es lo mismo para los \(i \in \{ 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 \}\), que son 9 \(i\) posibles.

Entonces para el \(2\) tenemos \(50 - 9 = 41\) ubicaciones posibles puesto que no puede ser asignado a ninguno de esos \(i\). Luego para el \(4\) tenemos \(50 - 8 = 42\) ubicaciones, menos la que usamos para el \(2\), por lo que nos queda \(42 - 1 = 41\) formas posibles. Luego para el \(6\) tenemos \(50 - 7 = 43\) ubicaciones posibles, menos las que usamos para el \(2\) y el \(4\), tenemos en total \(43 - 2 = 41\). Siguiendo este razonamiento llegamos a que para ubicar cada par desde el \(2\) hasta el \(18\) (9 pares en total) tenemos \(41\) formas posibles, por lo que hay \(41^9\) formas posibles de ubicar esos números. Luego nos falta asignar los pares del \(20\) al \(100\), y como ya fueron ubicados \(9\) números, para el \(20\) nos quedan \(50-9 = 41\) ubicaciones, para el \(22\) nos quedan \(50 - 10 = 40\), para el \(24\) tenemos \(50 - 11 = 39\), etc. por lo que para ubicar los pares del \(20\) al \(100\), tenemos \(49!\) formas de hacerlo. Luego en total tenemos \(41^9 41!\) formas de ubicar todos los números pares, y como los impares ya estaban ubicados de una sóla forma posible, y ya están todos los números ubicados, tenemos que hay \(41^9 41!\) funciones biyectivas que podemos definir con esas condiciones, que era lo que buscábamos.
Bueno, no se si se me hubiese ocurrido esta forma de resolverlo, pero para la próxima, a contar cuántas ubicaciones nos quedan habiendo puesto los elementos anteriores!! jaja

Saludos!

Me parece que está mal la resolución.

Cuando suponés que tenés 50-9 "lugares" para asignarle al 2 me parece que estás equivocado. En realidad tenés 50-1 lugares (o sea, podés asignarle cualquiera menos el 2).

Saludos

Creo que tiene razón Leo.
Hay una confusión al decir "le asigno al 2". No se si tomás al 2 como del dominio o de la imagen...
El del dominio ya tiene su ubicacion que es 2+1=3.

Me parece que el ejercicio está bien porque el 2 es el 2 de la imagen. Es como decir "para cuántos i f(i) puede ser = 2". Si seguís el ejercicio con esa lógica el resultado parece estar bien así.

LeoT16 escribió:

Me parece que está mal la resolución.

Cuando suponés que tenés 50-9 "lugares" para asignarle al 2 me parece que estás equivocado. En realidad tenés 50-1 lugares (o sea, podés asignarle cualquiera menos el 2).

Saludos

No, al 2 de la imagen no le podés asignar ninguno de estos i = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} de la preimagen porque por consigna estos tienen que cumplir F(i) > i, y 2 es menor que todos ellos... se entiende?