¿De cuántas maneras se pueden ubicar 10 bolitas rojas, 6 bolitas negras y 16 bolitas blancas en tres cajas distintas de manera que en cada caja el número de bolitas de cada color sea par?
Bueno yo lo que pensé es que como siempre tienen que ser pares la cantidad de bolitas separo las bolitas en paquetes de 2 osea; 5 pares de rojas, 3 pares de negras y 8 pares de blancas.
Donde las barras son la división entre cada caja entonces la manera de ordenarlas
es \(\frac{18!}{2!.8!.5!.3!}\)
pero tambien había pensado
como puedo ordenar las rojas:
\(\neq \frac{18!}{2!.8!.5!.3!}\)
ya que en la fracciçon hay un 17 y en la otra parte no aparece el 17 entonces no son iguales pero entonces en donde me confundo agradezco ayuda.
Ahh buenísimo gracias
tiro otro del mismo final:
5. Sea \(f \in \mathbb{Q[X]}\) un polinomio de grado 8. Factorizar f en Q[X] , IR[X] y C[X]
sabiendo que satisface:
f tiene exactamente 5 raíces distintas en C
\(1 + i\) y \(2 - \sqrt{3}\)son raíces simples de f
f(2) = 0 y f(0) = 4 Propiedad 1:Como \(f\in\mathbb{Q[X]}\) entonces si \(2 - \sqrt{3}\)es raíz,\(2 + \sqrt{3}\)también es raíz.
Propiedad 2:Como \(f\in\mathbb{R[X]}\) en particular en \(Q[X]\) entonces si \(1+i\)es raíz,\(1-i\)también es raíz.
Propiedad 3 Como \(1+i\) y \(2 - \sqrt{3}\) son simples entonces \(1-i\) y \(2 + \sqrt{3}\) también lo son.
Entonces tenemos 4 raices simples. Por el teorema fundamental del álgebra como \(f\in\mathbb{C[X]}\)en particular en \(Q[X]\) y es de grado 8 entonces tiene 8 raíces en \(\mathbb{C}\). Como me dice que tiene 5 raíces distintas en \(C\)
entonces la 5 raíz que me falta es de multiplicidad 4 la cual es 2 pues f(2) =0.
Entonces \(F=a.{(x-2)}^{4}.[x-(1+i)].[x-(1-i)].[x-(2 + \sqrt{3})].[x-(2 - \sqrt{3})]\)
El tema es si puedo usar esas tres propiedades libremente o hay que justificarlas
la tercera no me cierra mucho, ¿qué les parece?.
Uhh, recién acabo de ver que estaba resuelto el 2 acá [Resuelto?] 27/12/05, ej. 2
Jajaj parece que lo habré leido e inconcientemente sabía que estaba xq también le puse un signo de pregunta que loco.
Propiedad 1:Como \(f\in\mathbb{Q[X]}\) entonces si \(2 - \sqrt{3}\)es raíz,\(2 + \sqrt{3}\)también es raíz.
Es cierto, la propiedad dice \(f\in\mathbb{Q[X]}\) entonces si \(a + b\sqrt{n}\) es raíz, con \(a,b\in\mathbb{Q}\), \(n\in\mathbb{N}\) no cuadrado, entonces \(a - b\sqrt{n}\) es raíz también de f.
Christian escribió:
Propiedad 2:Como \(f\in\mathbb{R[X]}\) en particular en \(Q[X]\) entonces si \(1+i\)es raíz,\(1-i\)también es raíz.
Joya
Christian escribió:
Propiedad 3 Como \(1+i\) y \(2 - \sqrt{3}\) son simples entonces \(1-i\) y \(2 + \sqrt{3}\) también lo son.
No se si esto se demostró en clase. Pero podés suponer que 1-i es de multiplicidad por lo menos dos y ver que es absurdo.
\(f\in\mathbb{Q[X]}\) entonces \(f\in\mathbb{C[X]}\) luego f se puede expresar como
\(f=a(x-(1+i))(x-(1-i))(x-(1-i))p\) con \(a\in\mathbb{C} \,\,\, p\in\mathbb{C[X]}\) pues 1+i es raíz y 1-i es raíz de multiplicidad por lo menos dos.
Consideremos el polinomio \(g=[x-(1-i)]p\) con \(g\in\mathbb{C[X]}\) de manera tal que \(f=a(x-(1+i))(x-(1-i))g\)
Pero entonces por la propiedad 2, 1+i es raíz de g. Luego \(g=(x-(1-i))(x-(1+i))h\) con \(h\in\mathbb{C[X]}\)
Reemplazando g \(f=a(x-(1+i))(x-(1-i))(x-(1-i))(x-(1+i)]h\) luego 1+i es raíz doble de F... y es absurdo pues por el enunciado esto no es cierto.
La demostración para ver la multiplicidad de \(2 + \sqrt{3}\) es análoga.
Christian escribió:
Entonces \(f=a.{(x-2)}^{4}.[x-(1+i)].[x-(1-i)].[x-(2 + \sqrt{3})].[x-(2 - \sqrt{3})]\)
Cuentas...\((2 + \sqrt{3})*(2 - \sqrt{3})=1\)
Bueno, el resto del ejercicio se desarrolla cambiando esos números.
En general los ejercicios siempre piden justificar por qué los polinomios de la factorización son irreducibles, pero para eso basta con leerse los apuntes de Puddu donde están las proposiciones que sirven para el caso.
