El ejercicio dice:
Sea U de clase C2 en R una funciòn acotada superiormente por una constante k positiva. y sea x(t) una solución de \(x''(t)=-U'(x)\)
a) probar que existe c real tal que \(\frac{1}{2} {(x''(t))}^{2}+U(x(t))=c\)
b) Deducir que x(t) tiende a infinito cuando t tiende a infinito
Bueno el tema es que si uno define una \(F(t)=\frac{1}{2} {(x''(t))}^{2}+U(x(t))\) como U es C2 puede derivarse 2 veces al menos, luego tambièn asi F. Luego la prueba se completa si, al derivar F queda 0 independientemente del valor de t. Veamos que esto es asi:
\(F'(t)=\frac{1}{2}2(x'(t))(x''(t))+U'(x(t))(x'(t))\) luego por hipòtesis:
Luego como F'=0 se tiene que F=c como querìamos.
La duda es que... ¿¿¿dònde uso que U está acotada??? Esto me hace sospechar que algun error hay.
Otra cosa, la parte b no se me ocurre nada.
Bueno gracias al que lo pueda resolver... o al que me de una idea!!!
Suerte