Dado V(x) una funcion clase C1, consideramos el sistema de ecuaciones diferenciales:
$$x'=y$$
$$y'=-V'(x)$$
probar que:
a) Si \(H(x,y)=1/2y^2+V(x)\) y \((x(t),y(t))\) es una solución, entonces \(H(x(t),y(t))\) es constante.
b) Si \(\lim_{x \rightarrow \pm \infty} V(x)=+\infty\), entonces todas las soluciones son acotadas.
La parte a) sale, pero tengo problemas con la b), alguna ayuda?
Bueno, resuelvo las dos partes para no dejar nada incompleto:
a)\(H(x,y)\eq= \frac{1}{2}{y}^{2}+V(x)\). Sea \(((x(t),y(t))\) una solución. Si derivamos respecto de \(t\), resulta:
Pero \((x(t),y(t))\) es solución del sistema, con lo que \(x'(t)\eq=y(t),\;y'(t)\eq=-V'(x(t))\). Reemplazando todo tenemos:
$$y(t)\cdot y'(t)-y(t)\cdot y'(t)\eq=0$$
Luego, \(\frac{d}{dt}H(x(t),y(t))\eq=0\), con lo que por ser una función derivable respecto de \(t\), y continua, se tiene que es constante sobre las trayectorias que son solución, o sea, \(H(x(t),y(t))\eq=C,\;C\in \mathbb{R}\)
b)Bueno, tenemos que probar que \(|x(t)|,|y(t)|\leq K,\mathbb{R}\), o sea, están acotadas las coordenadas de la solución vectorial. Para ello, sabemos que \(V(x)\rightarrow +\infty\). Luego, en particular, \(\exists M>0: \forall x>M,V(x)>C\). Luego, tenemos:
$$C\eq=\frac{1}{2}{y(t)}^{2}+V(x(t))$$
Pero para \(t>M,\;\frac{1}{2}{y(t)}^{2}+V(x(t))>\frac{1}{2}{y(t)}^{2}+C\geq C\). O sea, de tomar valores tan grandes como se quiera \(V(x)\), puedo exceder a \(C\), la energía sobre la trayectoria, y no podría compensarla con \(y(t)\), puesto que requeriría que \(\frac{1}{2}{y}^{2}<0\), lo cual es absurdo. En definitiva, el absurdo se obtiene de suponer que \(x\rightarrow +\infty\), o sea, de poder para tiempos suficientemente grande hacer \(x(t)\) muy grande. Sigue que \(x(t)\) está acotado superiormente. Con un razonamiento totalmente análogo, como \(V(x)\rightarrow +\infty\), aún cuando \(x\rightarrow -\infty\), concluirías el absurdo que te llevaría a \(x(t)\) está acotado inferiormente. O sea, tendrías que \(x(t)\) está acotado, \(|x(t)|<K,\;K>C\)
Ahora, es fácil ver que \(y(t)\) está acotada. Suponé que no, y fijate que de una manera muy parecida, como tenés \(H(x,y)\eq=\frac{1}{2}{y}^{2}+V(x)\), si \(y\rightarrow \pm \infty\), tendrías nuevamente que \(\frac{1}{2}{y}^{2}>K\), para \(t>M'\)(suficientemente grande). Como \(|x(t)|<K\), ahi llegarías al absurdo. De acá concluirías que \(|y(t)|<K'\), o sea, está acotada.
Como las coordenadas están acotadas, tenés que \(||(x(t),y(t))||<R\), o sea, el vector solución está acotado... o sea, la solución está acotada, como querías ver.
Espero que haya quedado claro. Un poco desprolijo, pero bueno... saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Vos decis que \(v(x)>C\) para \(x>M\) pero después suponés que \(t\rightarrow\infty\) pero la hipotesis no te asegura que t tienda a infinito sino x. Y entonces??