Hola, creo que estoy inaugurando esta sección. 😉
Empecé a preparar el final y me estan surgiendo varios inconvenientes con algunos ejercicios. Si alguien les puede dar una mirada me vendría bárbaro.
Sea \(g\) una funcion \(C^1\)tal que \(g(tx, ty, tz) = t^2 g(x,y,z)\) para todo t mayor que cero.
Probar que:
$$x g_x (x,y,z) + y g_y (x,y,z) + z g_z(x,y,z) = 2 g(x,y,z)$$
Sea \(A(t)\) \(R^n^x^n\) tal que \(A(t+1) = A(t)\) para todo t en \(R\). Si \(x(t)\) es una solución definida en R del sistema
$$x`(t) = A(t) x(t)$$
que verifica \(x(1) = - x(0)\) . Probar que \(x(t)\) está acotada.
Traten de poner ejercicios distintos en post distintos(perdón por este aviso molesto). Bueno, ahi va:
1)
Bueno, si pensamos \(g(tx,ty,tz)\) como la composición entre \(g(u,v,w),\;f(t,x,y,z)\eq=h(t,x,y,z)\eq=(tx,ty,tz)\), tenemos \({g}_{o}f(t,x,y,z)\eq=g(tx,ty,yz)\). Derivando respecto de \(t\), hallamos la derivada parcial usando la regla de la cadena:
$$\nabla g(tx,ty,tz)\cdot \begin{pmatrix} x & t & 0 & 0\\ y & 0 & t & 0\\ z & 0 & 0 & t\end{pmatrix}\eq=\nabla {g}_{0}f(t,x,y,z)\eq=\begin{pmatrix} {h}_{t} & {h}_{x} & {h}_{y} & {h}_{z} \end{pmatrix}$$
Luego, vemos que la derivada se obtiene del producto escalar \(<\nabla g(tx,ty,tz); (x,y,z)>\eq=<(\frac{\partial}{\partial x} g(tx,ty,tz),\frac{\partial}{\partial y} g(tx,ty,tz), \frac{\partial} {\partial z}g(tx,ty,tz)); (x,y,z)>\eq=\frac{\partial}{\partial x} g(tx,ty,tz)x+\frac{\partial}{\partial y} g(tx,ty,tz)y+ \frac{\partial} {\partial z}g(tx,ty,tz)z\)
Por otro lado, \(g(tx,ty,tz)\eq={t}^{2}g(x,y,z)\). Derivar respecto de \(t\) el segundo miembro es aplicar la regla de la cadena; puesto que \(g\) depende solo de \(x,y,z\), resulta \(\frac{\partial}{\partial t}g(x,y,z)\eq=0\), teniendo:
\(\frac{\partial}{\partial t} {t}^{2}g(x,y,z)\eq=2tg(x,y,z)\). Pegando todo, llegamos a:
que es lo que queríamo probar.
PD: ¿por qué \(g\in \mathcal{C}^{1}\)? pues esta era una parte del ejercicio 1) de algún final reciente. En la otra parte había que usar el teorema de la divergencia, y para que tuviera sentido la integral triple, bueno, se exigía la continuidad de las derivadas parciales. Esto comentario al margen...
Después pongo el segundo.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Yo tambín la cursé con el. Que buena noticia que me das, me volvi re loca tratando de buscar como se hacen este tipo de ejercicios que piden probar que la función está acotada.
Le preguntaste acerca de lo que entra de ecuaciones diferenciales?
Básicamente, cualquier teorema que él haya demostrado en clase entra (existencia y unidad entra pero no te lo toman entero nunca). sistemas conservativos entra, aunque lo hayan dado solo en la práctica, el apunte de Wolanski tiene info.
Un poco tarde, pero me interesa que quede. No sé por qué dicen que no vieron suficiente teoría para resolver el segundo 🙁.
Supongamos que \(x(t)\) es una solución. Entonces es fácil ver que \(y(t) = -x(t+1)\) también lo es. Además, tienen el mismo dato inicial. Por el teorema de existencia y unicidad de soluciones (hay que ver que se aplica, pero eso anda porque la matriz es periódica) \(x(t) = y(t)\). De ahí se deduce que \(x(t)\) es periódica (de período 2), y eso implica que es acotada
Solo una cosa; en el enunciado del ejercicio debería decir \(A(t)\) continua. Sin la hipótesis de continuidad, no pude hacer mucho(me imaginé una función de Dirichlet aplicada a matrices; teniendo una función matricial que no es continua en ningún punto). Aunque me parece que mucho sentido no tiene el ejercicio, sin esa hipótesis.
PD: no cumplí con mi palabra de poner después el ejercicio resuelto, parece...
Si la matriz es continua en \(\Omega\), ya tenés que es localmente Lipschitz, porque tenés:
\(||A(t)(y-x)||\leq ||A(t)||\cdot ||y-x||\), y si tenés \(A(t)\) continua sobre un dominio \(\Omega\) adecuado... (por ejemplo, Compacto), o tenés la hipótesis que \(A(t)\) es acotada, asegurás que es localmente Lipschitz. O sea, faltan hipótesis sobre la matriz.
Pero por eso dije que hay que pedir que la matriz sea continua sobre un dominio \(\Omega\) en el que \(A(t)\) sea acotada, para tener que sea localmente Lipschitz... si pedimos que sea localmente Lipschitz, nos ahorra el problema... pero quiero decir que basta pedir continuidad y estar acotada \(A(t)\), por la acotación que dije en el anterior post.
PD: yo pensé lo mismo que vos, yossa. Pero sin las hipótesis no podés hacer mucho. Pensá en
. Por cómo está enunciado el ejercicio, está función \(A(t)\) satisface \(A(t)\eq=A(t+1),\forall t\in \mathbb{R}\), así que hay que pedirle algo a la matriz... que sea localmente Lipschitz
Revisando las hipotesis del teorema de existencia y unicidad me di cuenta que tenias razon, porque las condiciones se piden respecto de x. Basta con que A sea continua.
Aprovecho para preguntar(bien colgada mi pregunta), si tengo una función derivable biyectiva \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\), con \(I\) un intervalo de la recta real, y extiendo dicha función \(f\) a toda la recta real, haciéndola periódica como \(f(t)\eq=f(t+1)\)... esta función satisface las hipótesis, casi... Con esta idea, si propongo:
Esta matriz es continua en \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\). Luego, si tomás ahora:
\(A:\mathbb{R}-\{x\in\mathbb{R}:\exists k\in \mathbb{Z}\,tal\,que\,x\eq=\frac{\pi}{2}+k\pi\}\rightarrow \mathbb{R}^{n\times n},\;{[A(t)]}_{ij}\eq=\tan(t)\).
Esta función matricial es continua en el dominio en el que está definida y es periódica, pero no es acotada.
Para mi, hace falta pedir que \(A(t)\) sea continua, al menos, en un conjunto cerrado. No se... estoy medio oxidado, tal vez, y no esté viendo algo... pero me parece que hace falta que el dominio no sea cualquier cosa.
PD: cuando se dice \(A(t)\) continua, se sobreentiende que se dice \(A:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n\times n}\) continua... pero quiero decir, que para un ejercicio, tendría que estar un poco más formulado. Va, no se...
\(A: \mathbb R \to \mathbb R^{n \times n}\) continua tal que \(A(t+1) = A(t)\). Entonces la función \(f : \mathbb R \to \mathbb R\) definida por \(f(t) = ||A(t)||\) es acotada. Es decir, con decir que sea continua la función (en todo \(\mathbb R\)), ya está.
😕 Che siempre la del cuelgue yo... puede alguien socorrerme?
No puedo siquiera ver los finales posteados, en donde debieran verse los ejercicios aparece un cartel que dice "invalid equation", ¿sugerencias?
Saludos!!
😕 Che siempre la del cuelgue yo... puede alguien socorrerme?
No puedo siquiera ver los finales posteados, en donde debieran verse los ejercicios aparece un cartel que dice "invalid equation", ¿sugerencias?
Saludos!!
Si, pasó un par de veces, fijate que ahora por lo menos a mi me anda todo bien 🙂 .. Por si ayuda en algo, en mi casa no había luz hasta hace un rato 😛